Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
0 —»• 0' —> G —» G 0
I1 1°
коротких точных последовательностей. Поскольку 0 и 1 — мономорфизмы, Г — мономорфизм; поскольку 1 и 0 — эпиморфизмы, Г — эпиморфизм. Однако Г не является эквивалентностью, как должно было бы быть в абелевой категории.
Причину этого явления нетрудно заметить. Если мы возьмем «почленное» ядро этого морфизма Г, мы получим короткую последовательность 0' -*» 0' -> G, которая не точна; то же самое справедливо и для «почленного» коядра G-»»0'-»-0'. Действительно Кег-Сокег-последовательность леммы 11.5.2 показывает, что эти две последовательности нужно соединить вместе морфизмом 1G : G ->G, чтобы получить точную последовательность. (Используя аддитивные отношения, можно получить кег-сокег-последо-вательность в любой абелевой категории.)
Вложим категорию Sesgo {¦№) в следующую категорию [tf (#):
Объекты — все диаграммы D : А ->¦ В ->¦ С из & (точность не требуется);
Морфизмы Г : D ->-D' — все тройки Г = (а, Р, 7) морфизмов из которые порождают коммутативную 2x3 диаграмму, подобную приведенной выше.
Поскольку tf (&) — категория диаграмм в абелевой категории, она является абелевой категорией; кроме того, морфизм (а, р, 7) тогда и только тогда является эпиморфизмом в tf (<#), когда а, р, 7 — эпиморфизмы в #, тоже и для мономорфизмов. Короткая точная последовательность D’ >* D D" из tf ($-)
478
Гл. XII. Производные функторы
соответствует коммутативной 3x3 диаграмме
D': А' ->с
\ 1 1
V
D-.A В -> с
1 1 4
1У-.А" -*вг -> С"
в категории fr, столбцы которой точны в fr. Назовем последовательность D' ^ D -ъ D" допустимой в tf (fr), если все строки и столбцы в этой диаграмме являются собственными короткими точными последовательностями в fr. Тем самым определен допустимый класс коротких точных последовательностей в tf (fr) в смысле IX.4 и, значит, определены допустимые морфизмы категории tf (fr).
Предложение 6.1. Морфизм Г = (а, Р, y) :D D" из tf (fr) тогда и только тогда является допустимым эпиморфизмом (допустимым мономорфизмом) в tf (fr), когда D и ГУ— собственные короткие точные последовательности категории fr,a а, р, у — собственные эпиморфизмы в fr (соответственно собственные мономорфизмы в fr).
Доказательство. Условие, очевидно, необходимо. Обратно, если а, р и у — собственные эпиморфизмы, то построим 3x3 диаграмму со второй и третьей строками D и D" и с первой строкой, состоящей из ядер а, р, у и морфизмов, индуцированных морфизмами последовательности D. По 3x3 лемме первая строка точна; по аксиоме (Р-4) первая строка собственна. Следовательно, все строки и столбцы — собственные точные последовательности, так что Г — допустимый эпиморфизм.
Теперь «собственные» проективные объекты определяются как «допустимые» проективные объекты (IX.4). Если дан собственный класс еР, то объект Р из fr называется собственным проективным объектом для &, если он имеет обычные свойства по отношению к собственным эпиморфизмам, т. е, если каждый собственный эпиморфизм о : В -» С индуцирует эпиморфизм Horn (Р, В) ->-->-Нош (Р, С). Мы будем говорить, что имеется достаточно собственных проективных объектов, если для каждого объекта А существует собственный эпиморфизм т : Р -» А, где Р — собственный проективный объект.
Теорема 6.2. Если Р и Q — собственные проективные объекты абелевой категории fr, то F:P-*-P@Q~*-Q — допустимый проективный объект в ? (fr).
§ 6. Категория коротких точных последовательностей
479
Доказательство. Если дана любая коммутативная диаграмма в &
F Р ~>P@Q^> Q О
z 1 I6 I11 Iе
?': 0 - В' А С'
Г f t« to |v
?: 0 - в Дс
с точными строками и если Г — допустимый эпиморфизм, то мы должны найти такой морфизм Z' : F Е первой строки в третью, что TZ' = Z : F -*¦ Е'. По предложению 6.1, а, р и y — собственные эпиморфизмы, значит, уа — собственный эпиморфизм. Поскольку Р и Q — собственные проективные объекты из I можно представить в виде а?' = ?, где Р -*¦ A, a ? можно представить в виде уаа — ?, где со : Q -у В. Возьмем i2 : Q -+-Р ® Q. Тогда о' (рю —тц,2) = yo© — ?я212 = ? — ? = 0, поэтому р© —Ч112 проходит через к' ? ker а’: рю —тц2 = к'са' для некоторого ©' : Q -*~А'. Поскольку а — собственный эпиморфизм и Q собственный проективный объект в со' представляется как аф = со', где я|) : Q —А, и
Рсо — гц2 = и'аф = рхф.
Определим морфизмы rj':P@Q-v5 и ?':Q->C, используя Яь Р ® Q ->Р
х\' — %%,'щ + (со — wp) я2, S' =
Тогда Z' = (|', г]', ?') : ? ->-? — требуемый морфизм.
Мы теперь покажем, что имеется достаточно допустимых проективных объектов, не для всех объектов категории «5° (.#•), а для объектов категории Ses^o (#) <= of (#-).
Теорема 6.3. абелева категория & имеет достаточно собственных проективных объектов, то для каждой собственной короткой точной последовательности Е : А » В С из & существует допустимый проективный объект F и допустимый эпиморфизм Z == (|, г|, ?) : F -*-Е категории (&).
