Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Длинная точная последовательность называется собственной, если каждый ее морфизм собственный, n-кратная точная последовательность 5, начинающаяся объектом А и кончающаяся 1
объектом С, может быть записана (в силу стандартного разложения ее морфизмов) как произведение S = Еп ° . . . ° ?i коротких точных последовательностей. По предложению IX.4.1 последовательность S собственна тогда и только тогда, когда каждый из ее множителей Et является собственной короткой точной последовательностью. Назовем две n-кратные последовательности S и S', идущие от Л к С, конгруэнтными, если вторая может быть получена из первой конечным числом замещений Et на конгруэнт- 1 ную последовательность Е\, или замещений двух последовательных множителей по правилам (Ea)°F = E°(aF) и E°(aF) ==
— (Ea)°F, где Е и F — собственные последовательности, а а — подходящий морфизм. Теперь элементами множества Ext^> (С, Л) >
являются классы конгруэнтности таких n-кратных последователь- .
ностей, причем сложение и нуль определяются, как раньше. Свойства Extjo в точности те же, что собраны в теореме III.5.3.
Эти свойства можно переформулировать на другом языке. Градуированная аддитивная категория § — это категория, в которой каждое множество hom^ (С, Л) является теоретико-множественным объединением семейства абелевых групп {hom11 (С, Л), п =0, 1, ...}, а умножение индуцирует гомоморфизм horn (В, С) ® hom (Л, В) —>-hom (Л, С) степени 0 градуированных абелевых групп; “§ должна стать аддитивной категорией, если рассматривать только морфизмы hom0 (С, Л). В частности, каждый мор- I физм градуированной аддитивной категории имеет степень. Теперь рассмотрим собственную n-кратную точную последовательность S, начинающуюся с объекта Л и кончающуюся объектом С, как морфизм степени п из С в Л, а обычным морфизмам из С в Л припишем степень 0. Свойства Extможно теперь собрать в следующей теореме:
»
Теорема 4.4. Каждый собственный класс & коротких точных последовательностей абелевой категории fr определяет гра- >
§ 4. Собственные точные последовательности
471
дуированную аддитивную категорию (fr), объектами которой являются объекты категории fr и hom^ (А, В) = Ext^ (А, В); в частности, homg (Л, В) = hom^ (А, В). Умножение в определяется умножением Ионеды собственных длинных последователь ностей и умножением гомоморфизмов и длинных последовательностей, а сложение определяется правилом els (Si + S2) = = els (VB(Si © S2) Aa).
Если & — некоторый собственный класс коротких точных последовательностей абелевой категории fr, то конгруэнтные собственные длинные точные последовательности S и S' также конгруэнтны, как несобственные длинные точные последовательности. Этим определяется естественное преобразование Ext^o (С, А)-*-—Extjg (С, А) бифункторов. Предложение 4.2 утверждает, что это преобразование есть мономорфизм при п = 1. Этого может не быть в случае п> 1; в любом случае при наличии элементарной конгруэнции (Ea)°F = E°(aF) в fr; из того, что последовательность aF собственная, не следует собственность последовательности F.
Замечание. Идея систематического изучения точных последовательностей .R-модулей, которые S-расщепляются, принадлежит Хохшильду [1956], а некоторые указания имеются у Картана и Эйленберга [1956]. Гомологические аспекты в случае сервантных расширений абелевых групп были замечены Харрисоном ([1959] и в неопубликованной рукописи). Возможные аксиомы для собственных точных последовательностей были сформулированы Буксбаумом [1959, 1960], Хеллером [1958] и Ионедой [1960]. Наши аксиомы эквивалентны аксиомам Буксбаума. Батлер и Хоррокс [1961] рассмотрели взаимоотношения нескольких собственных классов в одной и той же категории; вместо собственного класса &> они рассмотрели
подфунктор Ext^o С Ext1. Функторы Ext для категории <М — Morph (М) морфизмов категории М, как оказалось, имеют тесную связь с функторами Ext в категории М (Маклейн [1960b]).
УПРАЖНЕНИЯ
1. (Буксбаум.) Показать, что аксиому (Р-2) можно заменить требованием, что из ар = lj^ следует Р 6 3°т.
2. (Хеллер.) Если х ? ёРт и ха — собственный морфнзм, то морфизм а собственный.
3. Построить пример двух сервантных подгрупп в Z4 0 2ч, показывающий, что из х, X 6 &>т не следует, вообще говоря, к + Я ? &>т.
4. Построить пример несервантного расширения F абелевых групп и такой гомоморфизм а, чтобы расширение aF было сервантным.
5. Пересечение & п 3°' двух собственных классов коротких точных последовательностей является собственным классом.
472
Гл. XII. Производные функторы
6. (Харрисон.) Если S — фиксированный модуль, то показать, что класс всех коротких точных последовательностей А >-» В -» С, для которых Нот (5, В) Нот (S, С) — эпиморфизм, является собственным классом.
§ 5. Ext без проективных объектов
Если категория & имеет достаточно проективных объектов для данного собственного класса S', то каждый объект С имеет собственную проективную резольвенту е : X -*¦ С. Тогда имеет место, как и для модулей (теорема III, 6.4), естественный изоморфизм Ext^o (С, А) ^ Нп (Homjg (X, А)). Как и в отмеченном случае, мы можем построить стандартную точную последовательность для Extern. Вместо этого мы даем прямое доказательство, не используя ни проективных, ни инъективных объектов.
