Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Из условий леммы следует, что произведение FE 66 Ext2 (С, G) определено, и из (i) вытекает, что FE == (F'ke) Е ~ F' (хЕ ?) = == F'0 = 0, т. е. (iii). Двойственным образом из (ii) следует (iii). При доказательстве обратного будем обозначать символом F ф ? свойство F и ?, сформулированное в эквивалентных утверждениях
(i) и (ii). Теперь нуль группы Ext® (С, G) имеет разложение
§5. Ext без проективных объектов
475
О = F0E0, где
F0:G>*G-» О, Е0:0 »С-»С,
и F0 ф Е0, поскольку F0 — xg,F', где F' : G » G © С -» С. Предположим, что FE = 0, как в (iii); эта конгруэнция получена конечным числом k применений закона ассоциативности F' (уЕ') = 5Е (F'y) Е’ к равенству F0E0 = 0. Мы теперь покажем, что F ф Е, индукцией по числу k таких применений. Поскольку F0 ф Е0, нам необходимо только показать, что из Fy ф Е' следует F фуЕ', и обратно ввиду двойственности. Теперь по (ii), FyJfcE' означает, что Е' = aFvE" для некоторой последовательности Е". Диаграмма, определяющая Fy
Fy : •-----* • —^ •
il 1р lv
F ; «----> « « ,
дает уaFy = о>Р для некоторого р. Следовательно, уЕ' = ss (уору) Е" = оF фЕ"); по (ii) это означает, что F ф уЕ'. В доказательстве обратного утверждения используется (i) вместо (ii) для отношения ф. Мы закончили доказательство того, что из (iii) следует (i) и (ii).
Лемма 5.4. Условие (ii) леммы 5.3 эквивалентно условию: (ii') для некоторого морфизма а и некоторой последовательности Е', Fa == 0 и Е = аЕ'.
Доказательство. Поскольку FaF == 0, из (ii) следует (ii'). Для доказательства обратного запишем F в виде G » D -ъ А. Для некоторого объекта L двойственная последовательность, индуцированная F, начинается членами
0 —> hom (L, G) —» hom (L, D) Д- hom (L, A) Ext^> (L, G);
мы уже знаем, что эта часть последовательности точна. Значит, если /',а==0иа:?->Л,то а = oFfi для некоторого Р : L -+D.
Таким образом, если выполнено условие (ii'), мы получаем, что Е == аЕ' = of{$E'), т. е. условие (ii) леммы.
Эти леммы являются первым шагом индуктивного доказательства следующего утверждения:
Лемма 5.5. Если п > 0, S ? 6 Ext" (Л, G) и Е ? Ext1 (С, А), то следующие три свойства эквивалентны:
(i) для некоторой последовательности S' € в Extn, S = S'x?;
(ii) для некоторого морфизма а и некоторой последовательности Е', Sa = 0 и Е == <хЕ';
(iii) SE = 0.
476
Гл. XII. Производные функторы
Импликация (iii) ==#> (i) покажет, что кп\ Еп, и закончит доказательство теоремы.
Для доказательства того, что из (i) следует (ii), запишем S' как произведение TF', где F' ? Ext1. Отсюда S = S'xE = Т (F'ke). Применим лемму 5.3 к F = F'ke и Е; она устанавливает, что Е 52 aF Е' и SaF = Т (FaF) == 0, что и совпадает с (ii).
Для доказательства того, что из (ii) следует (i), используем индуктивное предположение. Если Е = а Е' и SasO, то запишем S как произведение TF, где Т ? ? Ext™-1. Тогда Т (Fa) = О, так что по индукции (из (iii) следует (i)) существует такая последовательность Т' G 6 Extn_1, что Т = T'%Fa. Таким образом,
S — TF = Т (v.FaF) и (v-faF) а = xFa (Fa) = О, так что (¦Яра F) Е = 0. По лемме 5.3 (из (iii) следует (i)), xFaF = F'ke для некоторой последовательности F', откуда S = (T'F') кЕу т. е. свойство (i).
И из (i), и из (ii) следует (iii); пусть в доказательстве обратных импликаций S ф Е снова обозначает отношение между S и ?, устанавливаемое эквивалентными утверждениями (i) и (ii). Тогда из SE ~ 0 следует S ф Е, что устанавливается индукцией по числу шагов в конгруэнции SE = 0 в точности так же, как в доказательстве леммы 5.3.
Заметим, что условие (ii) из этой леммы можно интерпретировать, сказав, что конгруэнцию SE == 0 можно установить с Цомощью одной ассоциативности SE = S (аЕ') = (Sa) Е', включающей ?, а остальные ассоциативности все применяются внутри Sa.
Замечание. Доказанная теорема была установлена Буксбаумом [1959]; обработка доказательства, приведенного в тексте, целиком принадлежит Стефану Шануэлю (не опубликовано).
§ 6. Категория коротких точных последовательностей
Пусть аГ1 — собственный класс коротких точных последовательностей абелевой категории &. Построим категорию Ses^o (&) (сокращение слов «короткая точная последовательность из &»):
Объекты — все собственные короткие точные последовательности Е = (и, о) из #,
Морфизмы Т : Е -*-Е’ — все тройки Г = (а, р, y) морфизмов из #, которые порождают коммутативную диаграмму
В-Л 0 I" # !р !v
Е': 0—> А'Л В' А С'-*0.
§ 6. Категория коротких точных последовательностей
477
Ses^o (,#) является аддитивной категорией относительно определенных очевидным образом умножения и сложения морфизмов. Однако Sesgo (&) не есть абелева категория. Чтобы убедиться в этом, заметим, что для морфизма (а, 0, 7) с а = р = О необходимо у = 0, так как уа = сх'Р = сх'О = 0, откуда у = 0, поскольку а — эпиморфизм. Правило умножения (а, Р, 7) (а', Р', у') = (аа', РР', 77') показывает, что если аир — мономорфизмы в то (а, Р, у) — мономорфизм в Ses^o (.#). Двойственно, если Р и 7—эпиморфизмы в то (а, Р, 7) —эпиморфизм в Ses^a (&). Для нулевого объекта О' и некоторого объекта G ф 0' из & построим морфизм Г = (0, 1, 0):
