Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
496
Гл. XII. Производные функторы
точна последовательность Т (Xi) ->» Т (Х0) ->• Т (Л) ->• 0. Отсюда вытекает естественный изоморфизм Ь0 (А) = Н0 (Т (Х))^Т (Л).
Эта теорема представляет интерес в случае точности справа функтора Т. Тогда ее можно считать или характеризацией последовательности левых производных функторов функтора Т как коуниверсальной последовательности при L0 = Т, или утверждением о том, что левые сателлиты функтора Г и их связывающие гомоморфизмы могут быть вычислены с помощью резольвент.
Чтобы получить определенный производный функтор Ln, нужно выбрать резольвенту X для каждого объекта А. Такое широкое использование аксиомы выбора законно в малых категориях fr и возможно во всех тех примерах категорий, в которых имеется канонический способ выбора проективной резольвенты. Если категория М, являющаяся областью значений, не есть категория модулей, а является произвольной абелевой категорией, то в приведенном выше доказательстве требуется знание точной гомологической последовательности с ее связывающими гомоморфизмами для любой абелевой категории. Мы уже указывали весьма бегло в § 3, как этого можно достичь, используя аддитивные отношения.
Давайте теперь подытожим' свойства производных функторов в нашем случае.
I. Ковариантный функтор ? : (fr) ->-32+ является поло-
жительной связанной последовательностью {Тп, Еп), состоящей из ковариантных функторов Тп : fr 31 и гомоморфизмов Еп : Тп (С) -уТп-х(А), естественных по аргументу Е. Он сопоставляет каждой собственной последовательности Е : А >* В -» С комплекс
... -» Тп (А) -> Тп (В) -> Тп (С) f> 7Vt (А) —> ..(9.1)
из 31. Предположим, что в fr достаточно проективных объектов. Каждый оР-точный справа ковариантный функтор Т :fr-*3Z имеет левый производный функтор ? : (fr) J2+, который
определяется функтором Т с точностью до естественного изоморфизма любым одним из следующих трех условий:
(la) Т0 = Т и функтор % коуниверсален;
(lb) Т0 = Т, последовательность (9.1) точна и Тп (Р) — 0 при п > 0 для каждого собственного проективного объекта Р;
(1с) Тп (Л) = Нп (Т (X)) для некоторой собственной проективной резольвенты е : X -*~ А, а морфизм Еп вычисляется подобным же образом с помощью короткой точной последовательности таких резольвент.
Эти рассмотрения можно дуализировать: для этого нужно заменить одну или обе категории fr и 31 двойственными. Например, замена категории fr приводит к следующим результатам.
§ 9. Производные функторы
497
II. Пусть Т является ^-точным справа контра-
вариантным функтором, и пусть в категории & достаточно собственных инъективных объектов. Для каждого объекта А выберем собственную инъективную резольвенту е: А -*¦ Y. Здесь Y—отрицательный комплекс F0 ->» Y1 ->» . . . ; применение контравариант-ного функтора Т дает положительный комплекс Т (Y) : Т (У°)ч-
т (Y1)-*- . . .; т. е. IT (Г)]п = T(Y”). Его гомология (Т (У)) = = Тп (А) есть п-й левый производный функтор Тп функтора Т.
Для каждой собственной последовательности Е корезольвен-ты Е дают соответствующий связывающий гомоморфизм Еп '¦ Тп (Л) -> Гп-1 (С), естественный по аргументу Е. Эти функторы и гомоморфизмы образуют положительную связанную последовательность {Тп, Еп) контравариантных функторов, которая сопоставляет каждой собственной последовательности Е : Л >* В -» С комплекс
-----> Тп (С) —> Тп (В) -> Тп (A) h Тп-, (С) -> • • ¦ (9.2)
из 31. Эта последовательность {Тп, Еп) может быть описана также как контравариантный функтор ? : (&) Если дан точ-
ный справа функтор Т: & -*¦ 31, то его левые производные функторы могут быть охарактеризованы или своим построением из инъективных резольвент, или одним из следующих свойств:
(Па) Т0 = Т и функтор ? коуниверсален, т. е. если задан функтор ?' : (#) -+3Z+, то каждое естественное преобразо-
вание /о : Т'0 -+-Т0 продолжается до единственного естественного преобразования f: ?' ->-?;
(lib) Т0 = Т, последовательность (9.2) всегда точна и Tn (J ) = = 0 при п > О для каждого собственного инъективного объекта J.
Категорная дуализация I (заменить на &ор и 31 на J?op) такова:
III. Пусть Т : & -+¦ 32 есть ^-точный слева и ковариантный функтор (например, Т (Л) = Horn^ (G, Л)). Его правые производные функторы — это функторы Тп (Л) = Нп {Т (Y)), где е : А ->• -*• Y есть собственная инъективная резольвента (предполагается достаточность числа инъективных объектов). Вместе с соответствующими связывающими гомоморфизмами они образуют отрицательную связанную последовательность ковариантных функторов Тп:&-+М, которая сопоставляет каждой последовательности Е комплекс
----->7»-! (G) тп (А) Тп (В) Тп (С) -» • • • (9.3)
из 31, т. е. является ковариантным функтором Т : {&)
32—353
498
Гл. XII. Производные функторы
Функторы Тп характеризуются в терминах Т любым из следующих свойств:
(Ша) Т° — Т и функтор % универсален, т. е. если дан функтор ?' : $#> (&) то каждое естественное преобразование
