Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Мы будем строить F в форме, указанной в теореме 6.2. Поскольку в & достаточно собственных проективных объектов, мы можем найти собственные проективные объекты Р и Q и собственные эпиморфизмы ? : Р -н>- Л, со : Q -> В. Произведение ? — аа : Q-*- С является собственным эпиморфизмом, а морфизм т] = «|я4 + + <оя2 : Р ® Q -*• В порождает морфизм Z = (?, rj, ?) : F -*¦ Е. Но поскольку \ и ? — эпиморфизмы, по короткой лемме о пяти
480
Гл. XII. Производные функторы
гомоморфизмах т) — эпиморфизм. Следовательно, Z — допустимый эпиморфизм по предложению 6.1, если только т]—собственный эпиморфизм. Но т] определяется морфизмами гщ = «|, тцг = поэтому его можно записать как произведение
Оба множителя ? ® со и VB (я 0 1) — собственные эпиморфизмы; второй множитель потому, что он эквивалентен (собственной) проекции я2 прямой суммы, как показывает диаграмма
в которой ф и я|э — автоморфизмы прямой суммы А 0 В, определенные равенствами
¦{на элементах ф (а, Ъ) — (а, b — ха), я|) (а, Ь) = (а, b + ха). Доказательство закончено.
Эта теорема позволяет построить допустимые проективные •резольвенты.
Теорема 6.4. Пусть & — собственный класс коротких точных последовательностей абелевой категории Для каждой собственной короткой точной последовательности Е из & существует допустимая проективная резольвента б : К -*•?, в tf (#), представленная коммутативной диаграммой
в каждая строка этой диаграммы является собственной проективной резольвентой в каждый столбец К — собственной короткой точной последовательностью {собственных проективных объектов) из А и каждый объект Wn = Хп © Yn.
Доказательство. Теорема 6.3 позволяет построить
б : К ~>Е рекурсивно, причем каждый столбец Кп является допустимым проективным объектом в tf (&) вида F из теоремы 6.2.
P0Q -^А@В~i> В@В—^В.
А® В
ч>| |ч> А®В
VB(K® 1)
В
II
JTjtpiij — 1 j “¦ 0j Я^фЦ — X) 1 j
= 1, = 0, fttfpii = х, 1
... —> X.Q —> А —>¦ 0
I I
->Wn-> Wn-l
I I
---------* Wо В 0
(6.1)
§ 7. Связанные пары аддитивных функторов
481
Значит, Кп — собственная короткая точная последовательность -Хп >-» Wn -» Yn собственных проективных объектов Хп, Wn, Yn и Wn — Хп © Yn. Каждый морфизм д: Кп -*-Kn~i и е : Ко ->? являются допустимыми морфизмами категории if (#),. поэтому строки диаграммы точны и собственны в fr. Заметим, что К можно рассматривать или как комплекс коротких точных последовательностей, или как короткую точную последовательность X >-» W -ь Y комплексов из Заметим также, что хотя последовательность X >-» W -» Y расщепляется как последовательность градуированных объектов, она может не расщепляться как последовательность комплексов (= градуированных объектов с дифференциалом <?).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Если <М — категория всех левых .R-модулей, то показать, что каждый мономорфизм в Ses (а#) имеет коядро в Ses (еМ) и двойственно. (Использовать Кег-сокег-последовательность.)
2. Морфнзм Г = (а, р, y) : D-+-D' допустим в (М) тогда н только тогда, когда D и D' — собственные короткие точные последовательности из н индуцированное отображение кег /} кег Y является собственным эпиморфизмом в М (или, двойственно, индуцированное отображение сокег а -> сокег Р является собственным мономорфизмом в М).
§ 7. Связанные пары аддитивных функторов
При систематическом исследовании функторов Т: & -> М в этом и следующих параграфах (§ 7—9) будет предполагаться, что
(i) & — абелева категория;
(ii) сР — собственный класс коротких точных последовательностей в Л;
(iii) М — отмеченная абелева категория (IX.2).
При таком подходе одновременно включается и относительная гомомологическая алгебра (например, если $ — класс подходящих расщепляющихся точных последовательностей), и «абсолютная» гомологическая алгебра, для которой в качестве еР берется класс всех коротких точных последовательностей в В 31 мы используем класс всех коротких точных последовательностей. Для приложений в качестве Я можно взять категорию всех модулей над некоторым кольцом или над алгеброй..
Аддитивный функтор — это такой функтор (кова
риантный или контравариантный), то Т (а + Р) = Т (а) + Т (Р) всякий раз, как определена сумма а + р. Из этого условия следует, что Т (0) = 0, Т (—а) = — Г (а) и Т (А © В) ^ Т (Л) © © Т (В). Начиная с этого места, мы будем считать, что все функторы аддитивны.
31—353
482
Гл. Xlh Производные функторы
Изучим действие ковариантного функтора Т на все собственные короткие точные последовательности (и, а) : А » В -» С 6 <#• Назовем функтор Т
^-точным, если в М точна каждая последовательность О ^ Т (А) -*¦ Т (В) -*¦ Т (С) ->-0;
^-точным справа, если точна каждая последовательность Т(А)-*Т(В) -+Т(С) ->0;
S'-точным слева, если точна каждая последовательность О -*¦ Т (А) Т (В) -*¦ Т (С);
