Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
T(P)->T(K)->S(C)->0, Я.
Пример. Для фиксированного модуля D, Т (С) = Ext" (С, D),
S (С) = Extn+1 (С, D).
Доказательство. Теорема сводится к предшествующей, если мы заменим категорию fr двойственной категорией &°в. Напомним (1.7), что категория frop имеет объекты А*, соответствующие объектам Л из fr, и морфизмы а* : В* -+ А*, соответствующие морфизмам а : А ->¦ В из fr, причем (ар)* = Р*а*. Таким образом, мономорфизмы из fr становятся эпиморфизмами в fr°v, категория, двойственная абелевой, абелева, и класс, двойственный собственному классу сР коротких точных последовательностей из fr, образует собственный класс в fr°v. Каждый ковариантный функтор Т: fr -*¦ М определяет контравариантный функтор Т*\ frop -*~Я, Т* (Д*) == т (Л). Далее, «достаточность инъективных объектов» становится «достаточностью проективных объектов». Все стрелки в ^-диаграммах обращаются, в ^-диаграммах остаются без изменения, и теорема 7.6 становится теоремой 7.7.
Аналогичное замещение в теореме 7.2 показывает, что контравариантная пара (S, Е*, Т) коуниверсальна слева тогда и только тогда, когда последовательность 0 ->• S (С) ->¦ Т (К) ->• Т (J) точна для каждой последовательности С » J -» К- Тогда S есть левый сателлит Т.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Назовем диаграмму Ai ^ В ^ Лг «декартовой», если она удовлетворяет обычным тождествам прямой суммы itjij = 1 = it2i2 и lini + 12п2 = = 1. Доказать, что аддитивный функтор переводит каждую декартову диаграмму в декартову и, обратно, любой функтор с этим свойством аддитивен.
490
Гл. XII. Производные функторы
2. Пусть функтор Т : М 31, не предполагаемый аддитивным, ^-полуточен. Доказать, что он аддитивен (ср. упражнение 1 и предложение 1.4.2).
3. Если функтор Т ковариантен и ^-точен слева, то показать, что его левый сателлит равен нулю.
4. Если пара (S, ?*, Т) коуниверсальна слева и функтор Т ^-полуточен и аддитивен, то доказать точность последовательности (7.3) при условии, что в М достаточно собственных проективных объектов.
5. Вывести теорему 7.6 из теоремы 7.2, заменив обе категории М и 31 двойственными.
§ 8. Связанные последовательности функторов
&-связанная последовательность {Тп, Еп) ковариантных функторов — это последовательность (..., Тп, Еп, Тп_и Еп-и • • •) функторов Тп: A -+М, в которой каждая пара (Тп, Еп, Tn_i) ^-связана; другими словами, такая последовательность сопоставляет каждой собственной короткой точной последовательности Е из & комплекс
------> Тп+1 (С) —^ Тп (А) -> Тп (В) Тп (С) ^ Тп-1 (А) -> • • •,
(8.1)
являющийся ковариантным функтором аргумента Е. Последовательность положительна, если Тп — 0 при п <. 0, и отрицательна, если Тп = 0 при п > 0; в последнем случае мы обычно используем верхние индексы:
Положительные связанные последовательности могут быть описаны более непосредственно в терминах градуированных аддитивных категорий. Напомним (теорема 4.4),что категория & может быть вложена в градуированную аддитивную категорию %$>{&)
с теми же объектами и с элементами из ExtJ> (С, А) в качестве морфизмов степени п из С в А. Из категории .5? мы можем построить категорию градуированных объектов из 31 с морфизмами отрицательных степеней. Подробнее, объект 91 из J?+ — это семейство {/?„} объектов из М с Rn — 0' при п < 0, а элемент из homft (91, 91') — это морфизм ц : 91 ->-91' степени —k, т. е. семейство морфизмов {fin : Rn R'n-h} из М; умножение морфизмов определяется очевидным образом. Тогда является градуированной аддитивной категорией. Если .52 — категория модулей над некоторым кольцом, то — категория градуированных модулей
над тем же кольцом с морфизмами отрицательных степеней.
Для градуированных категорий функторы определяются, как обычно, но обращается дополнительное внимание на степени морфизмов. Так, если и — градуированные аддитивные катего-
рии, то ковариантный функтор ? : § $В сопоставляет каждому
§ 8. Связанные последовательности функторов
491
объекту G из & объект ? (G) из S6 и каждому морфизму у : Gy-*-G2 степени d из § морфизм ? (у) : ? (G4) ->• ? (G2) той же степени из $в, причем должны выполняться обычные условия ? (lG) = — I %(G) и ? (7^2) = $ (Vi) $ (у2) всякий раз, как определено произведение 7^2. Функтор ? аддитивен, если ? (71 + 72) = = ? (71) 4- ? (72) всякий раз, как определена сумма yj + 7г-Естественное преобразование /:?'->-? степени d — это функция, которая сопоставляет каждому объекту G 6 § такой морфизм f (G) : ?' (G) -*¦? (G) степени d из <?#, что
? (V) f (GO = (- l)(deg v) (degf) f (Gz) ?' (7)
для каждого 7 : Gt ->-Gz из 3.
В частности, рассмотрим такие функторы из (#) в ,5?+.
Предложение 8.1. Существует взаимно однозначное соответствие между ковариантными аддитивными функторами (&)-+• Л+ и положительными &-связанными последовательностями {Тп, Еп) ковариантных аддитивных функторов Тп : & ->,5?.
Доказательство. Пусть задан функтор ? : %$> (Л) -*¦ Функтор ? сопоставляет каждому объекту А объект {Тп (А)} из М+, а каждому морфизму из Ёдо (&) — морфизм из J2+. В частности, каждый морфизм а :Л-*Л' из .#¦ является морфизмом степени 0 в (.#), поэтому ? сопоставляет ему семейство морфизмов {Тп (а) : Тп (А) -*~ТП (Л')} из М\ эти сопоставления превращают каждое отображение Тп в аддитивный функтор Тп : & М. Далее, каждая собственная последовательность ? : А >-> В -» С из & является морфизмом Е : С -*• Л степени 1 в категории ^ (<#'), поэтому ? соответствует морфизм степени 1 в ,5?+, т. е. семейство морфизмов {En = Tn (Е) : Тп (С) (Л)}
