Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Не вдаваясь в подробные вычисления, доказывающие сделанное утверждение, дадим некоторые пояснения.
Вычислим в (26.69) интеграл по грассмановым полям. В результате мы получим, кроме нелокальных членов, локальную добавку вида (26.83) в экспоненте интеграла (26.69). Назовем сумму последнего члена и первых двух слагаемых в экспоненте интеграла (26.69) эффективным гравитационным действием Saej и эффективным гравитационным лагранжианом Caej- Так как в (26.69) калибровка не зафиксирована, то действие Sg е/ описывает невырожденную динамическую систему с переменными
279 Введем обозначение
KlllvnxfH*) = я,я , п • (26-84)
Можно установить, что
det A^Ha')(ж) = const g00(x) {-g(x))~^2. (26.85)
B (26.85) константа зависит от калибровочного параметра а. Формула (26.85) доказывается в [27].
Заметим, что для вырожденной системы определитель матрицы (26.84) был бы равен нулю.
Далее для сокращения обозначений мы ведем изложение в терминах многокомпонентного скалярного поля Фа(х), динамика которого описывается при помощи невырожденного лагранжиана С, причем
?=\Чв(Ф) (д,Фл) (д„фв)-У(ф),
К(ф(х)) = det К°ав(Ф{х)) . (26.86)
Согласно (26.85) и (26.69) амплитуда перехода для системы (26.86) представляется в виде
(Ф"\Ф') = ^ /exP U f d^ А Л[К{ФШ112<1Фа{Х). J у. J > х А
(26.87)
Если мы покажем, что содержащаяся в мере расходимость вида
J(O) j dAx InК(ф(х)) I (26.88)
ехр і \
компенсируется частью расходимостей, возникающих при взятии интеграла (26.87), то мы установим соответствующее взаимное сокращение расходимостей в амплитуде перехода (26.69).
Проиллюстрируем этот факт при помощи метода стационарной фазы, когда в главном приближении интеграл (26.86) является гауссовым. Разложим поле на классическую и флуктуирующую составляющие: ф = фо + ф. Поле Оо является решением классических
280 уравнений, и потому разложение по полю ф начинается со второго порядка:
5 = S0-і j d4x фл{х)[К^в{ф0{х)) OliOv + ...]фв(х)+... . (26.89)
Здесь последнее многоточие обозначает вклад в действие степени выше двух относительно поля ф, а многоточие в квадратной скобке обозначает дифференциальный оператор степени ниже двух. Сделаем замену в (26.87):
Д йфА(х) —> Д <1фА(х) .
х,А х,А
Из (26.89) и (26.17) видно, что взятие интеграла в гауссовом приближении дает в экспоненте член
Indet [ ] = -I tr 1п[ ] , (26.90)
где квадратная скобка обозначает оператор, заключенный в квадратных скобках (26.89). Удобнее, однако, вместо величины (26.90) использовать величину
tr ln{[ ][ J0-1), (26.91)
где [ ]о обозначает оператор, заключенный в квадратных скобках, но в линеаризованной теории. Под линеаризованной теорией мы понимаем теорию, полученную из исходной теории путем выбрасывания всех нелинейностей. Таким образом, оператор [ Jq1 по существу совпадает с причинной функцией Грина Т>с(х) (см. (26.81)), он не зависит от полей. Поэтому введение дополнительного множителя под логарифм в (26.91) ведет лишь к переопределению общего нормировочного множителя.
Оператор в фигурной скобке в (26.91) содержит часть, зависящую от поля ф0, по которой может быть разложен логарифм. Нетрудно проследить за теми членами разложения, которые дадут слагаемые, пропорциональные J^(O). Из вида функции Грина (26.81) следует, что лишь часть оператора в (26.89) K0ab <9q приводит к членам ~ j(4)(0). Действительно, из (26.81) получаем, что сингулярная часть оператора в фигурной скобке в (26.91) равна
[Кав(Фо(х)) O?dvVc(x - y)}sing = К°А°в(Фо(х)) 6{4)(х - у). (26.92)
281 Поэтому после взятия следа в (26.91) все члены указанного разложения будут содержать вклады, пропорциональные J^4'(0). Это следует из того, что сингулярная часть каждого члена в этом разложении имеет вид
J Ci4X1. ..d4xn SW(X! - X2) f(x2) . ..5^(хп - X1) I(X1) =
Из сказанного можно сделать вывод, что сингулярный вклад в амплитуду перехода, происходящий от (26.90), равен
ехр j - ^(4)(0) J d4x In К(фо(х)) j . (26.93)
Множители (26.88) и (26.93) в амплитуде перехода взаимно сокращаются.
Тем самым установлено, что сингулярность, содержащаяся в мере интеграла (26.69), сокращается с соответствующей сингулярностью, возникающей при вычислении этого интеграла.
Заметим, что если бы мы пользовались не причинной, а какой-либо другой функцией Грина, то вывод о сокращении рассмотренных расходимостей сохранил бы свою силу, поскольку при этом выводе использовалось лишь свойство (26.92), которое имеет место для любых гриновских функций.
282 ГЛАВА III
ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ФЕЙНМАНА И КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
§ 27. Диаграммная техника Фейнмана
в приложении к теории гравитации
Теории поля, представляющие физический интерес, как правило, не линейны. Поэтому для таких теорий (за исключением класса интегрируемых теорий) амплитуда перехода не может быть вычислена точно. Для вычисления квантовой амплитуды перехода применяется метод теории возмущений, или метод диаграмм Фейнмана. В этом методе происходит разложение всех величин теории по ее нелиней-ностям. Последовательные члены этого разложения изображаются графически при помощи диаграмм Фейнмана. Каждой диаграмме Фейнмана однозначно сопоставляется некая числовая величина, которая представляется в форме кратного интеграла, в большинстве случаев расходящегося. Если существует физически осмысленный способ устранения этих расходимостей, то соответствующая квантовая теория поля, как правило, считается определенной именно своим набором диаграмм Фейнмана. Классический пример такой теории - квантовая электродинамика (КЭД). Однако квантовая теория гравитации не относится к таким теориям. В настоящее время в этой теории не найдено доопределение ряда теории возмущений. Квантовая теория гравитации относится к классу так называемых неперенормируемых теорий.
