Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Обобщение на случай системы со многими степенями свободы очевидно. Пусть q = (qa), р = (ра), а = 1,2, ... и набор переменных {ра,' qa } образует совокупность канонических переменных. Для краткости записываем
"=E^n5feSfffi = IIIIdj^P1- (»¦")
or t t а
Тогда амплитуда перехода записывается по-прежнему в виде (26.15).
Для дальнейших вычислений нам понадобится известная формула:
J exp I^P-M"1 P + i(,V j dp = (2я- г)(det ^) 1Z2 exp jj
(26.17)
260 Здесь р = (pi, ..., PjV) и M- невырожденная матрица в iV-мерном пространстве, dp = dpi dpi... dp ^ и ?р = J2a=i ?аРа- Формула (26.17) позволяет вычислить гауссовы функциональные интегралы:
J ехр j ^J dnxdnyp{x)M~l{x, у)р(у) +i J dnx?(x)p(x) | • ¦ Jl dp(x) = const -(det М)1/2-
X
-ехр |-I j dNxdNyt(x)M(x,y)(;(y) j . (26.18)
Здесь M и M'1 - взаимно обратные линейные операторы, действующие на интегрируемые функции в n-мерном пространстве и константа в правой части (26.18) не зависит ни от функции ?(х), ни от оператора A4. Неопределенность, которая может возникнуть при вычислении (det Л4), обычно устраняется, исходя из требований конкретной задачи.
Предположим, что лагранжиан некой многомерной системы зависит квадратично от скорости:
C=\qMq + lq-V(q). (26.19)
Импульсные переменные равны р = M q+l. Тогда действие в форме (26.13) имеет вид
s=Ldt{-i{p~i)M~i(p'i)+{p~i)j+ii~v{q)} •
(25.20)
В рассматриваемом случае в функциональном интеграле (26.15) может быть вычислен интеграл по импульсным переменным. При помощи формулы (26.18) получаем
W't"\q't') = ^ J (exP ^jf -П (det Л<(<))1/2 <*?(*)•
(26.21)
Здесь ? лагранжиан (26.19), a N - нормировочная константа, не зависящая от q' и q".
261 Если det M(t) не зависит от переменных q, то det M(t) может быть включен в константу N. В этом случае представление амплитуды перехода в виде функционального интеграла (26.21) совпадает с формой функционального интеграла, предложенного Фейнманом.
Впервые представление амплитуды перехода в форме функционального интеграла было дано Дираком [24]. Исключительно плодотворно Фейнман, а вслед за ним вся теоретическая физика начали применять функциональный интеграл в теории поля. В этих лекциях мы следуем в основном изложению этого вопроса, содержащемуся в книге Славнова и Фадцеева [25]. Читателю, интересующемуся более глубоким изучением теории функционального интеграла, мы рекомендуем книгу Фейнмана и Хибса [26].
26.2. Континуальный интеграл для вырожденных систем
Рассмотрим многомерную динамическую систему, гамильтониан которой зависит от п пар канонически сопряженных переменных {Pa, <1° } ив которой имеется m , m < п связей первого рода фа, а связи второго рода отсутствуют. В этом случае полный гамильтониан представляется в виде (см. (23.25)) Hj = H + YlT= і у'Фі, гДе Vi — произвольные функции времени. Все величины {фі} имеют взаимные скобки Пуассона вида (23.37), и H является величиной первого рода. Обозначим через Г2п фазовое 2п-мерное пространство с координатами {ра, qa }, в котором происходит движение.
На классическом уровне рассматриваемая обобщенная гамильто-нова система эквивалентна обычной гамильтоновой системе с (n—m) степенями свободы. Фазовое пространство г*2(п~т) последней системы реализуется следующим образом. Рассмотрим m дополнительных условий
Xj(Р, ?)= 0, (26.22)
для которых выполняются требования
det \[фі, xj] I Ф 0, [Xi1XjI = O. (26.23)
Подпространство в Г2п, определяемое равенствами
XіЬ>, 9)=0, ФіІР,ч) = 0, (26.24)
262 является пространством г*2("-"»). Канонические переменные в P*2(n-m) выберем следующим образом. Вследствие (26.23) можно выбрать в Г2п канонические переменные так, чтобы первые т координатных переменных q1, ..., qm совпали с величинами xі, Xm'-
q = {x\---,xm,q*}- (26.25)
Здесь д* - остальные (га — т) координатных переменных. Записывая лагранжиан в переменных (26.25), находим соответствующие канонически сопряженные импульсные переменные. Обозначим их через
p={pi, - ..,рт,р*}. (26.25')
В новых переменных условия (26.23) принимают вид
det
Ф 0 , i,j = 1, ...,т. (26.26)
dpj
Отсюда следует, что уравнения связей
Фі(р,ч)= 0 (26.27)
можно разрешить относительно pi с г = I, ..., т. В результате подпространство Г*2(п_771) задается уравнениями
xi = ^i = O, Pi = pi(p*, q*). (26.28)
Переменные {p*,q*} являются каноническими, и гамильтонианом системы является функция
n*(p*,q*)=7Hp,q)U=0iX=о. (26.29)
Обозначим старую систему с гамильтонианом "Нт и фазовым пространством Г2п и новую систему с гамильтонианом %* и фазовым пространством Г*2(п-771) через Г и Г* соответственно. Эквивалентность систем Г и Г* означает следующее. Выберем в 'Hi лагранжевы множители Vi так, чтобы выполнялись равенства
[Нт,х'} = 0- (26.30)
Вследствие (26.23) эта задача имеет однозначное решение. При этом уравнения Гамильтона (23.26) и связей (26.27), (26.28) совпадают с уравнениями Гамильтона для системы Г*.
263 Доказательство эквивалентности систем Г и Г* является весьма простым в координатах (26.25). Уравнения q' = О означают, что
