Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вергелес С.Н. -> "Лекции по теории гравитации " -> 69

Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.

Вергелес С.Н. Лекции по теории гравитации — М.: МФТИ, 2001. — 428 c.
Скачать (прямая ссылка): lekciipoteoriigravitacii2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 123 >> Следующая


(25.1)

^ = = (25-3)

V4R «{<?} = О

-1

Q(x)= det Qiikl (х)

\ (25.4)

247 Здесь д = det gtj.

В последних двух уравнениях операторы в левых частях взяты в кавычки, так как в них неизвестен порядок расположения переменных {gij, Tr4j). Кроме того, операторы в фигурных скобках в (25.4) и (25.5) могут иметь дополнительные слагаемые, пропорциональные постоянной Планка.

Уравнения (25.4) и (25.5) являются основными динамическими уравнениями в квантовой теории (чистой) гравитации. Эти уравнения можно рассматривать как некую "базисную идею" в квантовой теории гравитации. Уравнение (25.4) носит название уравнения Уилера-ДеВитта. Смысл уравнений (25.5) заключается в том, что волновая функция остается инвариантной при произвольной замене координат на трехмерной гиперповерхности E с метрикой g^.

Множество всех полей gij(x) над гиперповерхностью E назовем суперпространством. В суперпространстве можно ввести естественную метрику согласно формуле

JS2= j d3x Gijkt (х)6дф) Sgkl(X). (25.6)

Введем вспомогательное скалярное произведение для волновых функций при помощи формулы

<Фі|Ф2)= [ П П V\oW\d9ij(x) ¦ (25.7)

* 3<3

Для скалярного произведения (25.7) оператор в фигурной скобке в (25.4) формально является эрмитовским.

Таким образом, физические состояния в представлении Шредингера являются функциями на суперпространстве, удовлетворяющими уравнениям (25.4) и (25.5). Множество физических состояний образует пространство Hp, которое называется пространством физических состояний.

Определение скалярного произведения в физическом пространстве Hp наталкивается на определенные трудности.

Действительно, согласно уравнениям (25.4) и (25.5), физические состояния не изменяются при движении вдоль некоторых направлений в суперпространстве. Например, вследствие уравнений (25.5)

248 при изменениях метрического тензора вида (24.71) физические состояния не изменяются. Отсюда следует, что при определении скалярного произведения в пространстве Hp нельзя интегрировать по всему суперпространству. Следовательно, скалярное произведение (25.7) в пространстве физических состояний не имеет смысла.

Другая трудность в теории заключается в том, что не все исходные динамические переменные являются операторами в пространстве физических состояний. Пусть I ) Є Hp и А - некий оператор. Для того чтобы состояние A I ) было физическим, необходимо, чтобы коммутатор [А, И] равнялся нулю в сильном или слабом смысле. Здесь U - гамильтониан теории. Однако коммутаторы исходных динамических переменных с гамильтонианом, как правило, не равны нулю. Поэтому не все динамические переменные могут рассматриваться как линейные операторы в физическом пространстве. Отсюда следует, что вычисление матричных элементов от некоторых величин может также быть затруднительным.

Решение указанных трудностей в частном случае двумерной гравитации излагается ниже в § 29. Исходя из опыта, полученного при изучении двумерной гравитации, в § 30 дается альтернативная формулировка квантовой теории гравитации, свободная от указанных трудностей.

25.2. Проблема внутреннего произведения в пространстве физических состояний

Разложим 3-тензор ж'і следующим образом:

^ = + иь ^j-O-

Отсюда и из (24.54) получаем

Owl*** = -2*» *Uj).

Таким образом, видно, что суперметрика ДеВитта имеет сигнатуру sign QijkI = (+-----). (25.8)

Так как симметричный тензор gij имеет 6 независимых компонент, то суперметрика ДеВитта является метрикой в шестимерном пространстве. "Времениподобный" знак "+" в (25.7) связан с

249 конформной модой 3-метрики. Таким образом, уравнение Улилера-ДеВитта может быть интерпретировано как гипердолическое дифференциальное уравнение, описывающее распространение волновых функций (физических состояний) во "времени", спрятанном в конформной моде суперпространства. Здесь имеется полная аналогия с волновыми функциями релятивистских скалярных бозе-частиц, подчиняющихся уравнению Клейна-Гордона-Фока.

Хорошо известно, что для полей, удовлетворяющих уравнению Клейна-Гордона-Фока, строится сохраняющийся ток и сохраняющийся заряд. Этот заряд задает сохраняющееся внутреннее произведение волновых функций (см. [15]). Аналогично можно построить в квантовой теории гравитации (по крайней мере формально) сохраняющийся ток и сохраняющееся внутреннее произведение волновых функций. Отличие от обычной теории Клейна-Гордона-Фока состоит в том, что в теории гравитации имеется континуально много независимых уравнений типа Клейна-Гордона-Фока, которым удовлетворяют волновые функции. Действительно, уравнения Уилера-ДеВитта (25.4) представляют собою бесконечное множество независимых уравнений для каждой точки.

Это обстоятельство усложняет построение сохраняющегося внутреннего произведения волновых функций.

Рассмотрим величины:

I(AB) (іф) = Ji Фд <%)

0^w = !g^ ад)" (25'9)

которые вследствие (25.4) удовлетворяют уравнениям:

VIg(X)I 6*А') (V^WIA-)(.'ЛW) =0. (25.10)

В (25.9) стрелка " —> " или " " над оператором означает, что этот оператор действует направо или налево соответственно. Предполагается также, что волновые функции в (25.9) удовлетворяют уравнению (25.5).
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed