Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
(25.1)
^ = = (25-3)
V4R «{<?} = О
-1
Q(x)= det Qiikl (х)
\ (25.4)
247 Здесь д = det gtj.
В последних двух уравнениях операторы в левых частях взяты в кавычки, так как в них неизвестен порядок расположения переменных {gij, Tr4j). Кроме того, операторы в фигурных скобках в (25.4) и (25.5) могут иметь дополнительные слагаемые, пропорциональные постоянной Планка.
Уравнения (25.4) и (25.5) являются основными динамическими уравнениями в квантовой теории (чистой) гравитации. Эти уравнения можно рассматривать как некую "базисную идею" в квантовой теории гравитации. Уравнение (25.4) носит название уравнения Уилера-ДеВитта. Смысл уравнений (25.5) заключается в том, что волновая функция остается инвариантной при произвольной замене координат на трехмерной гиперповерхности E с метрикой g^.
Множество всех полей gij(x) над гиперповерхностью E назовем суперпространством. В суперпространстве можно ввести естественную метрику согласно формуле
JS2= j d3x Gijkt (х)6дф) Sgkl(X). (25.6)
Введем вспомогательное скалярное произведение для волновых функций при помощи формулы
<Фі|Ф2)= [ П П V\oW\d9ij(x) ¦ (25.7)
* 3<3
Для скалярного произведения (25.7) оператор в фигурной скобке в (25.4) формально является эрмитовским.
Таким образом, физические состояния в представлении Шредингера являются функциями на суперпространстве, удовлетворяющими уравнениям (25.4) и (25.5). Множество физических состояний образует пространство Hp, которое называется пространством физических состояний.
Определение скалярного произведения в физическом пространстве Hp наталкивается на определенные трудности.
Действительно, согласно уравнениям (25.4) и (25.5), физические состояния не изменяются при движении вдоль некоторых направлений в суперпространстве. Например, вследствие уравнений (25.5)
248 при изменениях метрического тензора вида (24.71) физические состояния не изменяются. Отсюда следует, что при определении скалярного произведения в пространстве Hp нельзя интегрировать по всему суперпространству. Следовательно, скалярное произведение (25.7) в пространстве физических состояний не имеет смысла.
Другая трудность в теории заключается в том, что не все исходные динамические переменные являются операторами в пространстве физических состояний. Пусть I ) Є Hp и А - некий оператор. Для того чтобы состояние A I ) было физическим, необходимо, чтобы коммутатор [А, И] равнялся нулю в сильном или слабом смысле. Здесь U - гамильтониан теории. Однако коммутаторы исходных динамических переменных с гамильтонианом, как правило, не равны нулю. Поэтому не все динамические переменные могут рассматриваться как линейные операторы в физическом пространстве. Отсюда следует, что вычисление матричных элементов от некоторых величин может также быть затруднительным.
Решение указанных трудностей в частном случае двумерной гравитации излагается ниже в § 29. Исходя из опыта, полученного при изучении двумерной гравитации, в § 30 дается альтернативная формулировка квантовой теории гравитации, свободная от указанных трудностей.
25.2. Проблема внутреннего произведения в пространстве физических состояний
Разложим 3-тензор ж'і следующим образом:
^ = + иь ^j-O-
Отсюда и из (24.54) получаем
Owl*** = -2*» *Uj).
Таким образом, видно, что суперметрика ДеВитта имеет сигнатуру sign QijkI = (+-----). (25.8)
Так как симметричный тензор gij имеет 6 независимых компонент, то суперметрика ДеВитта является метрикой в шестимерном пространстве. "Времениподобный" знак "+" в (25.7) связан с
249 конформной модой 3-метрики. Таким образом, уравнение Улилера-ДеВитта может быть интерпретировано как гипердолическое дифференциальное уравнение, описывающее распространение волновых функций (физических состояний) во "времени", спрятанном в конформной моде суперпространства. Здесь имеется полная аналогия с волновыми функциями релятивистских скалярных бозе-частиц, подчиняющихся уравнению Клейна-Гордона-Фока.
Хорошо известно, что для полей, удовлетворяющих уравнению Клейна-Гордона-Фока, строится сохраняющийся ток и сохраняющийся заряд. Этот заряд задает сохраняющееся внутреннее произведение волновых функций (см. [15]). Аналогично можно построить в квантовой теории гравитации (по крайней мере формально) сохраняющийся ток и сохраняющееся внутреннее произведение волновых функций. Отличие от обычной теории Клейна-Гордона-Фока состоит в том, что в теории гравитации имеется континуально много независимых уравнений типа Клейна-Гордона-Фока, которым удовлетворяют волновые функции. Действительно, уравнения Уилера-ДеВитта (25.4) представляют собою бесконечное множество независимых уравнений для каждой точки.
Это обстоятельство усложняет построение сохраняющегося внутреннего произведения волновых функций.
Рассмотрим величины:
I(AB) (іф) = Ji Фд <%)
0^w = !g^ ад)" (25'9)
которые вследствие (25.4) удовлетворяют уравнениям:
VIg(X)I 6*А') (V^WIA-)(.'ЛW) =0. (25.10)
В (25.9) стрелка " —> " или " " над оператором означает, что этот оператор действует направо или налево соответственно. Предполагается также, что волновые функции в (25.9) удовлетворяют уравнению (25.5).
