Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Щав) = 0 •
(25.21)
(25.22)
253Функционал Jx{g} калибровочно-инвариантен, то есть имеет место равенство (26.53) Умножим форму (25.20) на левую часть равенства (25.22):
П(ДВ) = Цав) Jxb } ( Чх(д})) W } . (25.23)
J G з
Будем интегрировать форму (25.23) по некой гиперповерхности в суперпространстве и сделаем замену переменных вида д -» gh, h Є Gz- В результате под интегралом происходит, в частности, замена )) S(x(gh^))- Будем считать, что интегрирование
J03 dji{f } производится в последнюю очередь. Во внутреннем интеграле положим hf = 1 Є Gz и учтем равенства (26.53) и
V(ab) - ^(AB) •
Теперь очевидно, что подынтегральное выражение не зависит от элемента / Є Gz- Поэтому интегрирование по группе Gz может быть опущено, и мы приходим к следующему выражению для сохраняющейся билинейной формы:
Щав) = const - • Jxi9 №(</)) ^ni Л dg*' Л ... .
(25.24)
Здесь I(ab) задается согласно (25.17) и
ЗШ) = ЦЧХ*Ш- (25.25)
x, і
Теперь мы можем определить сохраняющееся внутреннее произведение волновых функций:
(Фл I Фв) = j П drJix) J^ V(AB) ¦ (25-26)
Здесь E является некой гиперповерхностью в суперпространстве размерности 5x8. Кратный интеграл по грассмановым переменным понимается как произведение однократных интегралов и по определению f dt](x) ¦ т)(х) = 1, f drj(x) = 0 (см. [25]).
Более детальное обсуждение внутреннего произведения волновых функций, возникающего вследствие равенств (25.10), можно найти в [21].
25425.3. Проблема третичного квантования
Так же, как и в теории Клейна-Гордона-Фока, внутреннее произведение (25.26) не является положительно определенным.
Чтобы это увидеть, рассмотрим некую волновую функцию xSв в квазиклассическом приближении. В этом приближении волновая функция ищется в виде (23.82)
*±{<7} = F{g } exp S{g } J . (25.27)
Действие S{g} в (25.27) удовлетворяет системе уравнений (23.72), где в качестве <f>j(q, р) берутся величины (24.58). Уравнения для S{g } в рассматриваемом случае имеют такой вид, что если S{g } является их решением, то и (~S{g }) также удовлетворяет этим уравнениям.
Вычислим произведение (25.26) для волновых функций (25.27). Так как главный вклад в полуклассическом приближении получается от дифференцирования экспонент, то согласно (25.17), (25.18), (25.9), (25.24) и (25.26) имеем
; Ф± I Ф± ) = const J \F\2HdZ'4x)- (^±gijkl(x)
SS
Sgki{x)
(25.28)
В (25.28) везде берется либо верхний, либо нижний знак и (ГЬ обозначает меру:
[Я(іЛ*0(*і|*з)-ПіП3... Jx{g} -S(x{g))dgni Adgri2A...] s .
(25.29)
На первый взгляд формула (25.28) не дает возможности сравнить знаки двух произведений ( Ф+ j Ф+ ) и (Ф_ | Ф_ ), поскольку согласно этой формуле указанные произведения отличаются зна-ком [Пх- (— 1 )х ], который не определен. Однако ситуация несколько проясняется при переходе к дискретному базису пространственных гармоник поля g%j(x). Поле gij(x) может быть разложено в дискретный ряд по неким гармоникам-модам в том случае, когда х-пространство замкнуто. При этом функциональные координаты суперпространства {gij (х) ) заменяются некими счетными наборами коэффициентов такого разложения. В литературе обсуждается гипотеза, согласно которой пространственно неоднородные гармоники
255входят парами и потому не вносят вклад в знак нормы, в то время как пространственно однородная мода имеется одна, и потому именно она определяет знак внутреннего произведения.
Однородная мода описывает минисуперпространственную редукцию гравитационных систем (см. §28). Из сказанного вытекает, что, по-видимому, частотность (знак внутреннего произведения (25.26)) определяется минисуперпространственным сектором.
Вышесказанное означает, что гипотеза о знаках внутреннего произведения:
(Ф+|Ф+)>0, (Ф_|Ф_)< 0. (25.30)
является естественной в теории гравитации. (Заметим, что в теории гравитации, взаимодействующей с веществом, все изложенные результаты сохраняются.)
Если внутреннее произведение (25.26) исчерпывает все возможности для калибровочно-инвариантного внутреннего произведения в физическом пространстве состояний, то ситуация в квантовой теории гравитации оказывается подобной той ситуации, которая имеет место в теории Клейна-Гордона-Фока. В последней также отсутствует положительно определенное скалярное произведение для волновых функций отдельных частиц. Это обстоятельство приводит к необходимости вторичного квантования и введения в теорию квантованного бозонного поля, которое в свободной теории представляется в виде (26.81), где делаются замены а (к) —>¦ а (к), а*(к) -» а^ (к), причем [а(к), at (к] = (2тг)3 J(k - р ).
Аналогично следует рассуждать и в теории гравитации.
Поскольку отсутствует положительно определенное скалярное произведение в пространстве Hp, то любую волновую функцию Фл Є Hp следует рассматривать как некую моду третично квантованного гравитационного поля. Проблема скалярного произведения на изложенном уровне исчезает автоматически, поскольку при третичном квантовании все решения уравнений (25.4-5) являются не функционалами, а функциональными операторами, действующими в более широком гильбертовом пространстве состояний, в котором уже имеется положительно определенное скалярное произведение. Это гильбертово пространство описывает не одну квантовую космологическую модель, а множество таковых.