Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Обратим внимание на то, что два состояния (25.27) отличаются тем, что на квазиклассическом уровне описывают движение системы
256 по одной и той же траектории в суперпространстве, но в противоположных направлениях по времени. Это ясно из (23.75). Действительно, при замене S —> —S импульсы в (23.75) меняют знак. Можно таким образом условно сказать, что положительно частотные решения уравнений (25.4-5) представляют собою Вселенные, движущиеся вперед по времени, а отрицательно частотные решения — Вселенные, движущиеся в обратном направлении по времени.
Хотя проблема третичного квантования в настоящее время активно обсуждается в специальной литературе, однако она еще очень слабо разработана (см. [21] и ссылки там).
§ 26. Представление амплитуды перехода в виде континуального интеграла
Квантовый оператор эволюции ехр[—i(t" — t') U ] может быть представлен в виде континуального интеграла по переменным в фазовом пространстве, а в простых случаях - в конфигурационном пространстве. Представление амплитуды перехода в теории поля в форме континуального интеграла Фейнмана является исключительно полезным инструментом, при помощи которого решается ряд задач с наименьшей затратой сил и времени. В частности, на этом пути выводится диаграммная техника Фейнмана, оценивается вклад ин-стантонов (если они существуют) в квантовой теории и так далее.
Целью этого параграфа является представление амплитуды перехода в теории чистой гравитации в виде функционального интеграла. Так как гравитация является вырожденной системой, а также и вследствие ее кинематической сложности, эта задача нетривиальна. В следующем параграфе полученные здесь формулы будут использованы для некоторых оценок при помощи теории возмущений.
26.1. Континуальный интеграл в конечномерном случае
Пусть %(р, д) - функция Гамильтона для некой одномерной системы. При переходе к квантовой теории канонические переменные (р, q) заменяются на операторы (Р, Q), причем [Q, Р] = і (Й = 1). В сложных случаях возникает проблема упорядочения операторов
257 координаты и импульса в гамильтониане, которая при квантовании Вейля решается следующим образом.
Обозначим через | q) собственный вектор оператора Q, так что
Ql?> = ?l?>, <?'l ?) = %-<?')• (26.1)
Так как
[Q, eisP} =-Seisp ,
то
eUP\q) = \q-s). (26.2)
Рассмотрим унитарный оператор
u(s, t) = exp(iPs + iQt) = v}(—s, —t).
Здесь параметры s и t - вещественны. При помощи формулы Хаусдорфа
«(«, t) = eisteitQeiPs , (26.3)
а также формул (26.1) и (26.2) получаем
( q" I u(s, t)\q') = exp ^ t) S(q" - q'+ s) . (26.4)
Пусть
%{s, t) = J n(p,q)e-isp-itqdpdq = ii*(-s,-t) (26.5)
- компонента Фурье гамильтониана. Звездочка означает комплексное сопряжение. Согласно Вейлю квантовый гамильтониан определяется формулой
П(Р, Q) = J K(s,t) u(s, t) ds dt. (26.6)
Очевидно, оператор (26.6) эрмитов. При помощи формул (26.1) — (26.6) легко получить, что
W'\n\ ^ = (26.7)
258 Рассмотрим для малых (t" — Ґ) амплитуду перехода
exp{-i(f" -t')H}fisl- i(t" -t')U. (26.8)
Используя (26.1), (26.7) и (26.8), находим
I _ ,•(*» Р} i+jL ) \ ехр (гр(д" - д')) g =
-S
= j ехр jip(g" - д>) - i(t" - t') U (р, qL^f-) J g . (26.9)
Если интервал (t"— t') конечен, то его разбивают на JV равных частей таким образом, чтобы At = (t" — t')/N можно было бы считать малым. Пусть t' = to < t\ < . ¦. < tjv = t" и g(ti) = g,-, p(ti) =Pi. Тогда амплитуда перехода U (t", t') за конечный интервал времени представляется в виде
U{t", t') = U{t", <лг-і) U(tN-і, tN.2) • --Utt1, to). (26.10)
Теперь ядро амплитуды (26.10) мы можем записать при помощи (26.9) как многократный интеграл:
{q"\V{t",t')\g')= J exp{i[pjv(gjv-?jv-i) + ... + Pi(gi-?o)]-
• л^ \v ( 4N + gN-\\x x ( 91 +go
-г At Ul pN, ---j+... + Ulpi, —-—
dpN dpN-1 dgN_! dpi dqi
" 2тг 2TT 2тг l^ilj
Перейдем в последней формуле к пределу JV —оо, Af —^ 0. При этом число переменных интегрирования стремится к бесконечности и считается, что в пределе интегрирование происходит по p(t), g(t) при всех t в интервале t' < t < t" . На функцию g(t) наложено условие
g{t') = q', g(t") = g". (26.12)
В указанном пределе показатель экспоненты стремится к выражению
t"
S(t",t')= f {p(t)g(t)-U(p(t),g(t))}dt, (26.13)
Jv
259 которое является классическим действием на интервале {t',t") для траектории (q(t), p(t)) с граничным условием (26.12). Мера интегрирования в получающемся таким образом интеграле формально записывается в виде
^ттШШ. (26.14)
2тг 2тт
Если опустить одномерное интегрирование по конечному импульсу р", то формальное выражение для амплитуды перехода имеет вид
/
(q",t"W,t') = (q"\U(t»,t')\q') =
(26.15)
Заметим, что если бы мы пользовались другим упорядочением операторов в гамильтониане %, то мы пришли бы опять к выражению (26.15). На первый взгляд кажется, что при помощи функционального интеграла однозначно решается проблема упорядочения операторов. Однако это не так, поскольку функциональный интеграл не определен корректно во внутренних терминах. Если бы в конкретной задаче удалось полностью определить функциональный интеграл, то тем самым была бы решена проблема упорядочения операторов.
