Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что поле (-Зд )-1/2 (5/Sgij) с точки зрения координатных преобразований на гиперповерхности E является тензорным
250 полем типа (0, 2). Это следует, в частности, из формулы (24.54) и из того факта, что И± является скалярной величиной. Поэтому оператор, действующий на волновые функции в (25.9), является полем типа (2, 0) над гиперповерхностью Е. Так как волновые функции в (25.9) инвариантны по отношению к преобразованиям координат на гиперповерхности Е, то из сказанного следует, что величины (25.9) являются симметричными тензорными полями типа (2, 0) на гиперповерхности Е.
Пусть Л = (ij I X ) обозначает конденсированный индекс, который задает точку на пространственной гиперповерхности и симме-тризованную пару индексов (ij ). Тогда совокупность величин (25.9) можно обозначить 1(ав)- Очевидно, что при фиксированных значениях (AB) совокупность величин образует набор контра-вариантных координат некоего вектора в касательном расслоении суперпространства. Будем обозначать также:
{дф)} = /, Gijki(X) = дАП, f] і д(х) \ = \д | = det дш.
Так как суперметрика ДеВитта диагональна относительно точек ж-пространства (гиперповерхности E ), то оператор (25.12) является суперлокальным оператором в ^-пространстве, причем действие этого оператора сосредоточено в той точке х(Л), которая определяется индексом Л.
Под ультралокальным оператором мы понимаем такой оператор, который зависит от фундаментальных полей { </,-j, ir'J }, взятых в одной точке X, но не зависит от пространственных производных этих полей.
Из (25.10) вытекает следующее равенство:
По аналогии с (8.45) введем полностью антисимметричный псев-дотензор:
x
(25.11)
В новых обозначениях оператор O в (25.9) принимает вид
(25.12)
(25.14)
251 где ЄліЛз -- есть полностью антисимметричный символ, равный единице при некоем упорядочении своих индексов в том случае, когда они все различны. В величине (25.11) число всех индексов равно 6 X оо.
Мы видим, что некоторые величины и операции, которые здесь рассматриваются, определены на интуитивном уровне и являются символическими. Тем не менее такие величины и операции в настоящее время используются в теории квантовой гравитации (см. [21]).
Пусть т)(х) - скалярное вещественное грассманово поле на ^-пространстве:
Г]{х)т](у) +Т)(у)ті(х) =0.
Введем в рассмотрение грассмановы операторы:
д$ = ф(\))дА (25.16)
и определим с их помощью следующие величины с 1 X оо индексами Л:
Клв) - = const П
І0лЛ (IqAi 2і " J V 2» ч
Ф в- (25.17)
Формально в квадратной скобке в (25.17) имеется столько же сомножителей, сколько содержится точек x в ^-пространстве. Вследствие (25.15) т](х)т](х) = 0, и потому все индексы Ai, A2,... в (25.17) принимают такие значения, что все точки z(Ai), ж(A2)1... оказываются разными. Применяя еще раз свойство (25.15), мы видим, что величина (25.17) полностью антисимметрична по индексам Ab A2,....
Введем обозначения х (A5) = х„ и (ij) (As) = (ij|a;s). Тогда компоненты величины (25.17) могут быть записаны в виде
ir1(x1) t1(x2).. ]ъ*а [oW|»o(®i)-0(41^)(^) ¦¦•] Фв- (25-18)
Так как операторы (25.16) суперлокальны, то из сказанного следует, что величины (25.17) удовлетворяют уравнениям:
0. (25.19)
При преобразованиях координат на гиперповерхности E координаты в суперпространстве (поле gij(x) ) преобразуются по линейному закону в заданной точке ж-пространства согласно (2.12), а поле
252 т](х) остается неизменным в заданной точке г-пространства. Эти преобразования координат в суперпространстве назовем пространственно-калибровочными. Из (25.17) и (25.18) следует, что при пространственно-калибровочных преобразованиях координат в суперпространстве совокупность величин (25.17) преобразуется как тензор в суперпространстве типа (0, 1 хоо). Действительно, при пространственно-калибровочных преобразованиях операторы, отнесенные к некой точке ж-пространства, преобразуются независимо от таких же операторов, отнесенных к другим точкам ^-пространства. Поскольку поля Tj(x) - скалярные, то при интересующих нас преобразованиях они не изменяются.
Таким образом, величина
Щав) = const ¦ d9Ul Л dg11'А... (25.20)
является дифференциальной формой на суперпространстве степени 5 X оо, которая инвариантна относительно пространственно-калибровочных преобразований. Этого вполне достаточно для наших целей. Вследствие (25.19) форма (25.20) замкнута, то есть
Форма (25.20) является аналогом формы (9.43). Однако интегрировать форму (25.20) по какой-либо гиперповерхности в суперпространстве невозможно именно вследствие пространственно-калибровочной инвариантности этой формы. Такой интеграл был бы пропорционален объему калибровочной группы, которая некомпактна.
Для преодоления этой трудности воспользуемся трюком Фаддева-Попова [28]. Пусть х'(д)х ~ некие функции от метрики gij, число которых формально равно 3 х оо, причем равенства X = O фиксируют калибровку (по крайней мере локально в суперпространстве). Обозначим через d/i{f} право- и левосторонне инвариантную меру на группе пространственно-калибровочных преобразований Gz (см. § 26), / Є Gz- Пусть координаты суперпространства gl получаются из д при помощи элемента /. Определим функционал Jx{g} равенством
