Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Xab = 2J°cXb]c-^e[0афь1 (24.95)
243 Покажем, что гамильтониан (24.74) генерирует общекоординатные преобразования. Действительно, произведем бесконечно малое преобразование координат y? = x? — (см. (12.12)). Тогда
и для
Se; = -Ux^ib )еь, + v.r.
(24.96)
Если положить
е; = -Wg6 еь„ + Vtl eg .
(24.97)
Здесь было учтено, что = с%вд = Sq. При /J=O уравнение (24.97) является тождеством, а при ц = 1, 2, 3 оно совпадает с уравнением (24.90). Отсюда следует, что гамильтониан %т генерирует общековариантные преобразования.
Более точное утверждение состоит в том, что гамильтониан %т генерирует общековариантные плюс локальные преобразования Лоренца. Поэтому набор величин {фа, ХЬс] образует алгебру Ли группы Ли всех общековариантных преобразований и локальных преобразований Лоренца. При этом скобка Ли элементов {фа, ХЬс } совпадает по определению со скобкой Пуассона этих же элементов. Так как указанная алгебра Ли замкнута (т.е. скобка Ли любых ее двух элементов принадлежит этой же алгебре), то скобки Пуассона между величинами {фа, Xbc } равны нулю по модулю этих величин. Это и означает, что набор связей {фа, ХЬс } является набором связей первого рода.
Таким образом, согласно (24.95) и (24.98), связи Xab и фс являются связями первого рода. Уравнения движения и связей могут быть взяты в виде (24.91) и (24.93). Возможно, это есть наиболее удобная форма уравнений гравитационного поля в переменных тетрада-связность.
244 Главная цель канонической формулировки теории гравитации, достигнутая здесь, - это представление коэффициентов связности через канонические переменные {ef,^} согласно (24.87). Это дает возможность приступить к процедуре квантования теории гравитации (см. следующий параграф).
При наличии в теории гравитации материальных полей появляется, вообще говоря, кручение (см. § 27). Однако развитие канонического формализма при этом принципиально не изменяется, усложняясь лишь технически.
245 ГЛАВА II
ФОРМАЛЬНОЕ КВАНТОВАНИЕ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
§ 25. Канонический путь квантования гравитации
Согласно современным физическим представлениям фундаментальная физическая теория должна быть квантовой теорией. Теория гравитации является наиболее фундаментальной теорией поля, поэтому физическая наука ставит перед собою цель создания квантовой теории гравитации. Однако, несмотря на впечатляющие успехи в развитии квантовой теории поля, проблема построения квантовой теории гравитации в настоящее время остается нерешенной. Тем не менее в этой области существует некая общая философия, на которой основаны все попытки квантования гравитации. Кроме самых общих принципов, физическая наука располагает на этом направлении рядом "плацдармов", которые постепенно расширяются. Есть надежда, что в будущем эти " плацдармы" сольются в единую квантовую теорию гравитации, включающую в себя все известные теории поля. В настоящее время имеются также некоторые приложения квантовой теории гравитации к теории космологии на этапе возникновения Вселенной.
В этом параграфе дается формулировка канонического пути квантования гравитации.
В § 24 было показано, что гравитация является вырожденной системой, то есть ее гамильтониан есть линейная комбинация всех связей первого рода. Процедура квантования таких систем была сформулирована в § 23. Применим ее к теории чистой гравитации.
25.1. Фундаментальные уравнения
Будем работать с канонически сопряженными динамическими переменными {ffа/з, }, определенными в § 24. Для удобства сделаем переобозначение индексов а, ?,... —>• і, j,.... Четырехмерные координаты обозначаются, как обычно, через x? = (t, хг), /і =
246 = 0, 1, 2, 3. При этом пространственные координаты х' при фиксированном времени t являются координатами на гиперповерхности E(t), определенной в § 24. Таким образом, канонические переменные обозначаются {gtJ, Trlj }. По определению д,к gkj =Sji, Nt = дг] Nj. Четырехмерный метрический тензор в координатах x? задается согласно (24.45), так что
Первый шаг при переходе от классической к квантовой механике заключается в определении перестановочных соотношений. Ненулевые одновременные перестановочные соотношения фундаментальных переменных {gij, TTtj} постулируются, исходя из соответствующих скобок Пуассона (см. (24.51)):
[ffy(<, X), -Kkl (t, у)} = Us^(x - у) (SkS1j + S1iSk ). (25.2)
Гамильтониан в квантовой теории чистой гравитации получается при помощи формул (24.58), если в них вместо переменных {ga?, подставить соответствующие операторы, имеющие коммутационные соотношения (25.2). При этом возникает первая из нерешенных в настоящее время проблем: как должны быть упорядочены операторы {dijt Kv) в выражениях (24.58)? В § 23 было сказано, что проблема упорядочения операторов в связях первого рода решается исходя из требования, чтобы уравнения (23.35) имели решение.
Далее будем работать в представлении Шредингера, когда
и волновые функции ?{(? } являются функционалами от вещественных полей gij(x). Тогда уравнения (23.35) символически можно записать в виде
