Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
232 24.3. Канонический формализм в теории чистой гравитации
Теперь мы готовы сформулировать уравнения теории гравитации на гамильтоновом языке.
Будем рассматривать параметр t, фиксирующий гиперповерхность T(t), как время. Поля ga?{i, У) и ga?(t, У) = = (d/dt) ga?(t, у) на гиперповерхности ?(f) являются динамическими переменными и их скоростями соответственно. Очевидно, что поля N? (24.16) могут быть любыми, если соответствующим образом изменять зависимость от t семейства гиперповерхностей E(Z).
Согласно (13.20) и (24.44) действие для чистой гравитации может быть записано в виде
5 = ~Ї6Tc J dt і d2yn^r- (24-48)
Теперь воспользуемся соотношением (24.43). Если отбросить в (24.48) полную производную по времени и интеграл по границе рассматриваемой области пространства, то равенства (24.48) и (24.43) приводят к следующему лагранжиану:
? = -16Vg S (3R-KapKaP+ К2). (24.49)
Заметим, что не выписанный здесь интеграл по границе (который можно учесть) влияет лишь на граничные условия тех уравнений, которые возникнут. Полная производная по времени в плотности действия (24.43) вообще не влияет на уравнения движения. Далее в этом пункте мы будем изучать лишь локальный вид уравнений гравитации в канонической форме. Поэтому интеграл по границе нас не будет интересовать.
Ниже вместо У (или ya) мы пишем X (или ха). Вследствие уравнений (24.13) и (24.10) коэффициенты трехмерной связности Jp1 выражаются через трехмерную метрику дар формулой (9.38). Далее этот факт имеется в виду. Очевидно, трехмерный тензор кривизны 3Rafi1S выражается через метрический тензор дар и его первые и вторые пространственные производные, но он не зависит от ga?. Поэтому (см. (24.28)) вариация лагранжиана относи-
233 тельно вариации полей дар имеет вид
SC=1^G / d3xV4(Kgap -KaP)Sga? = J d3xTrap8ga?.
(24.50)
Далее мы опускаем индекс "З" в левом верхнем углу рассматриваемых величин, поскольку в этом подпункте все величины отнесены к трехмерному пространству. В (24.50) поля 7Гap(t, х) являются величинами, канонически сопряженными с полями ga?(t, х). Поэтому скобка Пуассона этих полей имеет вид
[ga?(t, х), тг7s(t, у)} = І*(»>(* - у) (S2SS?+S6aSJ ). (24.51)
Из (24.50) получаем, что
„a? _ ga?-yS ^f (24.52)
Здесь
G*?l5 = \ (2 ga?glS ~gaig?5 ~ ga6g?l] (2453)
- так называемая ковариантная суперметрика ДеВитта. Ее кон-травариантньге компоненты имеют вид
Qa?-iS = X п (ga?g-ys - gaig?o - gasg?l) • (24.54)
2 co yj—g
Легко проверяется соотношение
Ga?PaGp^S = \(SlSs?+SiSl), (24.55)
при помощи которого уравнение (24.52) обращается:
Katз = GafilS ^6 . (24.56)
Используя уравнения (24.28) и (24.56), получаем также, что
ga? = -2 N Gafils ^5 + Na\? + N?\a . (24.57)
Теперь легко выписать гамильтониан:
ПТ = J d3x KaP ga? -C =
234 = J d3x(N(x)-Hi{x) + Na{x)7ia(x))=:'HL+-Hl\, Ul(x) = (~Ga?lS na?^s + ^gR) (x),
-Ha(X) = -2 j v^ (^Dj ^ j (x) = -2 (vf + 7? *S? )W -
(24.58)
При получении формул (24.58) используются равенства (24.49), (24.57) и
Ga?ls = c^r (K2 ~ Ka?Ka? ) •
io 7г cr
Последнее равенство легко проверяется при помощи (24.52) и (24.55).
Обратим внимание на тот факт, что лагранжиан (24.49) зависит от полей N и Na и их пространственных производных, но не зависит от полей N и Na. Это означает, что поля N и Na являются не динамическими переменными, а множителями лагранжиана. Поля N и Na называются функциями иода и сдвига соответственно. Из (24.58) видно также, что величины Тіі(ж) и 7іа(х) являются связями. Ниже показывается, что Тії. и Ha являются связями первого рода. Связи второго рода при данном подходе в рассматриваемой задаче отсутствуют.
Прежде всего выпишем канонические уравнения (23.26) для полей ga? и va?. При помощи (24.51) и (24.58) находим
ga? = -2 N ga?lS ^5 + Nal? + Npla , (24.59a)
*"/» = -*{!(Qpais ^V" ) ga?) + (2 ^P - nssna? ) +
+ { АЛ ,г«/3 - JV^TrafT - NaK?l + NJ1Traf3 } + І ( Na %? + N?%a ).
(24.596)
При получении уравнений (24.59) использовались промежуточные формулы
[7&W, ^(У)) = -У) (Г-&)(*) +
235 + і -у) 6'?+ 6,?(x -у) Sf] gaS(x) -
- і 6$Цх - у) SfSi1SaHx) } + {<г j } , (24.60)
[*аР(х), (G-JtpeKisKpaM] =
= S(3)(x - У) { \ (Qiir ^s ^ ) 9a? + fj= (2 TTaTr^ - ^тг0"») } ,
(24.61)
[na?(x),J d3yV^NR] =
= -N V4 ( \ Rga? - Ra? ) + ^ Qafhi JV|7i. (24.62) Кроме уравнений (24.59), должны иметь место уравнения связей Ul(x) = 0, Па(х) = 0. (24.63)
Введем обозначения
Ua(x) = (Ui.(x), иа(х)). (24.64)
При помощи формул, полученных в этом параграфе, нетрудно убедиться, что справедливо равенство
^^ (4Я±а - \ 90а4я) = -Ua . (24.65)
Следовательно, уравнения связей (24.63) эквивалентны части уравнений Эйнштейна. Если в уравнении (24.59) проигнорировать последнее слагаемое (круглую скобку) в правой части, то оно совпадет с проекцией уравнения Эйнштейна на гиперплоскость Е:
ARa? - \ga?AR = о. (24.66)
Поскольку последнее слагаемое в правой части уравнения (24.596) слабо равно нулю, то из сказанного вытекает, что уравнения Гамильтона (24.59) и связей (24.63) эквивалентны уравнениям Эйнштейна в пустоте.
