Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Совокупность T^X всех тензорных полей типа (a,b) на многообразии X является линейным пространством. Это пространство бесконечномерно (при п > 0).
При (а, 6) = (0, 0) тензорные поля являются гладкими функциями на X, а линейное пространство Tq1Y - линейным пространством FX гладких функций на X. Пространство FX представляет собой по отношению к умножению функций алгебру, причем умножение (ZS)p превращает линейное пространство T^X в модуль над алгеброй FX.
При (a,b) = (0,1) тензорные поля называются векторными полями. Примерами векторных полей на координатной окрестности
22 U являются поля
г=1,...,п. (3.10)
Они называются і-ми координатнылш векторными полями на U. Каждое векторное поле X на U имеет вид
Х = Х*±. (3.11)
При (a,b) = (1,0) тензорные поля называются ковекторными полями. Примером ковекторного поля является і-е координатное ковекторное поле
dx* : р —> (dx')p (3.12)
на координатной окрестности U. Каждое ковекторное поле а имеет на U вид
Ct = Oidxi. (3.13)
В (3.11) и (3.13) Xх и Oi , і = 1,..., п - некоторые гладкие функции на U.
Для обозначения ковекторных полей по традиции употребляются строчные греческие буквы, а для обозначения векторных полей -прописные латинские буквы из конца алфавита.
Выше было показано (см.(2.8)), что каждый вектор V Є TvX позволяет произвольной гладкой функции / сопоставить некоторое число Vf - производную этой функции по вектору V. Отсюда следует, что для любого векторного поля X на многообразии X и произвольной функции / Є FX формула
(Xf)p = Xpf , рех
определяет на X некоторую функцию Xf. Из приведенных формул вытекает, что в некой карте (U, h) = (U, х1,.. .хп) многообразия X ограничение функции Xf на U определяется на U формулой
Xf = XiUi' ^
где X' - компоненты векторного поля X в карте (U, h). Поэтому функция Xf гладка на X.
23 3.2. Тензорное произведение линейных пространств
В заключение этого параграфа дадим определение тензорного произведения двух линейных пространств V и W надполем К, которое обозначается V<8>W. Пространство V®W является линейным пространством, натянутым на элементы вида а®Ь, где а Є V и b Є W . При этом выполнены следующие свойства: если аі,а2,аЄ V, Ьі,Ьг,Ь Є W и XeR, то:
(aj + а2) ® b = ai ® b + а2 ® b ,
a® (bi +Ьг) = a®bi + а® Ьг ,
Aa ® b = а ® Ab = А(а ® b).
Отсюда видно, что если векторы е\,..., еп образуют базис пространства V, a fi,..., fm - базис пространства W, то элементы
е; ® fj , 1 < і < п , 1 < j < т
образуют базис пространства V ® W-
Тензорное произведение двух линейных пространств очевидным образом обобщается на тензорное произведение любого числа векторных пространств.
Мы видим, что определенные в этом параграфе тензоры типа (а, 6) в точке р являются элементами тензорных произведений пространств TvX, которых имеется Ь сомножителей, и пространств Т*Х, которых имеется а сомножителей в этих произведениях. Базис в таком тензорном произведении может быть взят в виде (3.9).
§ 4. Дифференциальные формы
Пусть a - перестановка г чисел (н,...,гг) А (<т(г'і),..., <т(гг)) и Ea = ±1 в зависимости от четности перестановки, Xi,..., Xr -векторные поля на многообразии X. Обозначим через X^X2 ¦¦ - Xr] антисимметричное тензорное поле типа (0, г), определяемое формулой
X11X2 .. .Xr] = х°(і) ® • • • ® Х0(Г) ¦ (4-І)
24 Если (U, ar1,..., хп ) - карта, то очевидно, что компоненты тензора (4.1) в этой карте представляются в виде
XJ1
Xi1
... х:
.. Xl
• (4.2)
Определение 1. Кососимметричное тензорное поле типа (г, 0) на многообразии X называется дифференциальной формой степени г на этом многообразии. По определению, r-форма и принимает следующее значение на наборе векторных полей Xi, X2 ..., Xr (в карте ( U, Xі,..., хп )):
>{Xi, X2..., Xr) =Uiil^ir Xfc ...ХІ f.
(4.3)
Очевидно, что
u{Xa(i),.. .,Xa(T)) = е0ш(Хі,... ,Xr).
По традиции дифференциальные формы обозначаются строчными греческими буквами: ш, в, ф,..., а векторные поля - заглавными латинскими буквами: X, Y,.... Гладкие функции Wi1 . ,г в карте (U, X1,..., хп ) называются компонентами антисимметричного тензорного поля типа (г, 0) . Конечно, значение (4.3) не зависит от карты.
Определим внешнее умножение дифференциальных форм, для обозначения которого используется символ Л. Начнем с базисных 1-форм dx', г = 1, ..., п в карте (U, х1,..., хп ). Выбирая произвольный набор г индексов (н, ..., гг), определим базисную г-форму через внешнее умножение 1-форм dx'1, ..., dx'r:
dxh Л ... Л dxir = єа dxct^ ® ... ® dx"^ . (4.4)
a
Напомним, что если X = X' д/дх' есть векторное поле, то dx' (X) = X1. Естественно принять, что
{dxh ® ...®dxir){Xi® ...®Xr) = Xl1 ...Хг/ . ¦ (4.5)
25 Здесь важен взаимный порядок расположения форм и векторов-в тензорных произведениях в скобках.
Сопоставление формул (4.4), (4.5) и (4.2) дает:
[dx*1 Л ... Л Л:'"-)(Xi ® ... ® Xr) = Xfc ... XiJ .
Отсюда видно, что естественно определить значение базисной r-формы на векторных полях Х\, ..., Xr согласно
