Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Нам представляется, что предлагаемый курс лекций может быть весьма полезным для широкого круга читателей (студентов, аспирантов, преподавателей и научных работников физических специальностей), помогая пройти весьма экономным путем от математических и физических основ теории гравитации к некоторым быстро развивающимся в настоящее время направлениям этой науки.
В четвертой части предлагаемого курса лекций мы предполагаем совершить экскурс в теорию супергравитации, рассмотреть термодинамику черных дыр, привести великолепную лекцию А.Л. Старобинского по теории инфляции Вселенной, а также дать обзор интересной теории Г.Е. Воловика о моделировании явлений космологии на квантовых жидкостях.
Я благодарен A.A. Старобинскому за ряд полезных замечаний, которые были учтены мною при подготовке рукописи.
11 Часть I ВВЕДЕНИЕ
В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНУЮ ГЕОМЕТРИЮ
ГЛАВА I
ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ § 1. Многообразия
Пусть X - некоторое множество.
Определение 1. Картой в X называется пара ( U, h), где UCX- подмножество, a h : U —> Rn - отображение множества U в Rn, биективно (взаимно однозначно) отображающее U на некоторое открытое подмножество пространства Rn. ?
Подмножество UcX называют носителем карты (U, h). Пусть точка р Є U. Тогда, согласно определению, имеем взаимно однозначное соответствие
h
р ^ (хг(р), ...1xn{p))=:h{p)eRn , где Xi(P)ER. h~l
Числовые функции х' (р), і = 1, ..., п на U называются локальными координатами карты (U, h). При этом вместо (U, h) часто пишут (С/, х1, ..., ж" ) = (U, х').
Определение 2. Две карты (U, h) = (U, х') и' ( V, k) = (U, у1) в X Cr-согласованы, если либо W = U П V = 0, либо
а) оба множества h(W) и k(W) открыты в Rn и
б) отображение (Ar IW) ° : h(W) —>¦ k{W) является диффеоморфизмом класса Cr. ?
12 По определению карт имеем взаимно однозначные соответствия для р Є W:
р*—*хх{р), ..., х"(р) , P^y1(P), ..., уп{р) и в случае согласованных карт имеем диффеоморфизм
у = ф(х) (у = ((к о h'1) х) (или у = ф(х) ) класса Cr.
Определение 3. Множество карт {{Ua, ha)} называется Сг-атласом на X, если
а) любые две карты этого множества Сг-согласованы;
б) имеет место равенство
Uatfa = X.
D
Два атласа А и А* на X называются Cr-эквивалентными, если их объединение AUA* является Сг-атласом (т.е. каждая карта любого из этих атласов Сг-согласована с каждой картой другого атласа).
Определение 4. Гладким многообразием класса Cr называется пара (X, А), где X - множество, А - произвольный Сг-атлас на X. При этом многообразия (X, А) и (У, Л*) являются одинаковыми тогда и только тогда, когда X = У и их атласы Сг-эквивалентны. ?
В дальнейшем мы рассматриваем многообразия класса С°°, которые будем называть гладкими многообразиями или просто многообразиями.
Число га, равное размерности пространства Rn, называется размерностью многообразия и обозначается dim,%\
Дадим определение многообразия с краем. Обозначим через полупространство пространства Rn, состоящее из точек (ж1, ..., хп), для которых г1 < 0.
13 Определение 5. n-мерное гладкое многообразие с краем - это множество X с подмножеством У и атласом {( Ua, ha) }, который удовлетворяет следующим условиям:
1) Если подмножество Ua данного атласа содержится в X \ У, то соответствующее отображение ha : Ua —> Rn биективно отображает подмножество Ua на некоторое открытое подмножество пространства Rn; в противном случае отображение ha биективно отображает подмножество Ua на некоторое открытое подмножество Va пространства R^_у причем множество UaCiy отображается на подмножество Va, состоящее из всех точек, для которых X1 = 0.
2) Если { ( Ua, ha)} и {(U?, h?)} - две карты в X и UaC\U? ф 0, то ha о h? 1 = ha? есть гладкое биективное отображение множества h?(UaDU?) на ha(Ua П U?). ?
Поскольку гомоморфизмы ha? переводят внутренние точки во внутренние, а граничные в граничные, то очевидно, что если ограничить на подмножество ^ те Ua, которые его пересекают, то они (т.е. множества Ua П [У ) вместе с ограничениями отображений ha\uanу образуют атлас на множестве Многообразие называют краем многообразия X и обозначают дХ. Очевидно, что многообразие дХ имеет размерность (п — 1).
Введем обозначение int X = X \ дХ. Согласно данным определениям int X является многообразием (без края). Легко также понять, что ддХ = 0.
Карты, для которых Ua П дХ = 0, называются внутренними, а в противном случае - краевыми.
§ 2. Векторы
Для введения понятия вектора, касательного к произвольному гладкому многообразию, рассмотрим многообразие Rn.
Пусть X1, і = 1, ..., га - некоторые координаты в Rn, возможно, криволинейные, и X1 (t), г = 1, ..., п - гладкая кривая. Обозначим через v' = X1 (to) вектор, касательный к кривой в точке г!(<о)- В новых координатах
Xі' = Xі'(х\ ...,хп)
14 имеем ту же кривую
и тот же вектор v' = X1 (to), причем
•і' дх<'
ж = ITT х ' ох'
так что
Пусть теперь А(р) - множество карт многообразия X, содержащих точку р.
Определение 1. Касательным вектором к многообразию X (или просто вектором многообразия X) в точке р называется такое отображение
