Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
пропагатору VV, которая представлена графом с внутренними ^-линиями на
рис. 17.3.
196 ГЛАВА 17
Результирующий вклад в эффективное действие равен d4p d4k
¦T(R)[
(2я)4 (2itp
d%d%vs(-p, 0,)Х
D\D\ б12 D2D2 6,
(17.91)
где {Ts)ab{Tt)ab = 6stT(R). Множитель 1/2 необходим, поскольку интеграл
содержит V2. Проинтегрируем теперь это выражение по частям, перенося
действие оператора Щ с первой функции 6,2 на Ps(-р, 0i) и вторую функцию
612. Этот прием приводит к выражению
I S2 у / п\ С d4p d4k .ц.___________ 1________ 1 w
^ 2 (2it)4 (2я)4 а 1 2 k2(p + k)2 (16)2 А
X {D\VS (- р, 0,) D\bnD\D\bx2Vs (р, 02) +
+ 2D"Vs(-p, Qx)D2bX2Dl&D2D2bX2Vs(p, 02) +
+ Vs (1) D\bnD\D\D\bnVs (р, 02)}. (17.92)
Проинтегрируем снова по частям, перенося оператор D2 за первую функцию
S12 в первом слагаемом последней формулы. При интегрировании мы должны
помнить, что оператор D2D2 отличен от нуля. Это утверждение следует из
соотношений
612?2Z)26i2= 166,2, (17.93)
*12^*12 = 612D26I2 = bl2D6 б,2 = bnDh D2b12 =
= 612^,2 = = S,2^^,2 = 0. (17.94)
Вклад, соответствующий этому графу, теперь равен
I gf Т (R) Г d4p d4k d46|rf462 г п2/Т2у" ( п а \ а Д2Д26 Vs (2)4-
+ 2 (162) J (2я)4 (2я)4 k2(p + k)2 [U1U1V ( l) 12 i i 12 и +
+ 8Д, V (1) D\bl2 (+ k)\ DAD\bX2Vs (2) -
- Vs (I) D2bl9m2D2bl2Vs (2)]. (17.95)
Данное выражение содержит результат вычисления произведения более чем
двух операторов D или D, который получен на основе антикоммутационных
свойств D. Аналогичные приемы вычислений позволяют явно выделить
множитель 612 и затем проинтегрировать по переменной 02, что в результате
дает
- Т (Р) а2 ^ ^4в'___у-
2 в ) (2я)4 (2я)4 16р2 (р + к)2 А
X [Vs {-р, 8x)(D2D2 + 8D&DA{k)AB-№2)Vs(p, 0,)]. (17.96)
ПРАВИЛА ФЕЙНМАНА ДЛЯ СУПЕРГРАФОВ С Л - 1 jg7
Используя равенство
Г v 1 г v (Pu + 2?")
\d k~^ (p + k)2 =0 = S d k p2(p + k)2 ' (17.97)
получаем
| T (R) g2 J d*pd*QA (p)V( 1) Ump2V (1), (17.98)
где
DaD2D.
ni/2 = ¦ 8p2 A ¦ (17.99)
Другие вклады в пропагатор W, соответствующие петлям
поля V и духов, представлены в виде графов на рис. 17.4. Их
вычисление дает следующее выражение:
т (°) S W dieys {~ Р' 0) [(- Т + т п°) +
+ (-уП,/2-уП0)]Г(р) 0) А (р) =
= -~с2(С)\-^ашц-р, Q)p2mnvs(P, q)A(P), (17.100)
где
frstfr'st = br/C2 (G).
17.5. Расходимость фейнмановских суперграфов
Используя приведенные выше фейнмановские правила для суперграфов, можно
вычислить степень расходимости любого суперграфа. Рассмотрим суперграф
(L-петлевой интеграл) с Р пропагаторами, V вершинами какого-либо вида и Е
внешними ф- или ^-линиями, а также с некоторым числом внешних Р-ли-ний.
Мы замечаем, что в каждой вершине графа независимо от ее вида имеются
четыре множителя D. Вершина Р" содержит произведение четырех множителей
D, тогда как вершины ффУп или ф3 содержат то же число множителей D из-за
дифференцирования киральных источников. Единственное исключение из этого
правила - когда вершина имеет внешнюю киральную линию. Множители D
отсутствуют на внешних киральных линиях,
198
ГЛАВА 17
так как по внешним полям функциональное дифференцирование не
производится. Массивный пропагатор фф или фф, имеет дополнительный
множитель D2/q2 ~ \/q, следовательно, полная степень расходимости графа
равна
?> = 4L-2P-f 2V-C-E-2L, (17.101)
где С - число пропагаторов фф или фф. Для каждой петли требуются четыре
множителя D, чтобы получить ненулевой ответ при окончательном
интегрировании по 6; этим и оправданна необходимость добавления
последнего слагаемого в (17.101). Используя топологическую формулу L - РV
= 1, получим хорошо известный результат [84]
D = 2 - С - Е. (17.102)
Такая степень расходимости не соответствует ситуации, при которой графы
имеют все внешние линии лишь У-типа (Д = 0), поэтому в соответствии с
условиями калибровочной инвариантности на этих внешних линиях должны быть
четыре множителя D. Следовательно, если имеются только внешние У-линии"
то степень расходимости в действительности равна
D - - С,
т. е. возможна самое большее логарифмическая расходимость (при С = 0);
если С ф 0, графы не расходятся. Таким образом, пропагатор УУ может иметь
лишь логарифмическую расходимость.
Графы с двумя внешними линиями, киральность которых противоположна, т. е.
имеется пропагатор фф и С = 0, могут логарифмически расходиться. Эти два
результата согласуются с предыдущими явными однопетлевыми вычислениями.
Но если мы имеем только линии с данной киральностью, то интегрирование по
переменной 0 приводит к нулевому ответу, если нет хотя бы еще двух
множителей D на внешних линиях. Таким образом, окончательное выражение
имеет вид
(ф)п щ, (17.103)
что отличается от интеграла ^ й4хйЩфп+1, который равен нулю.
Степень расходимости соответствующего графа равна
?>= 1 -С-(п+ 1), (17.104)
так что при п > 1 графы конечны. Это означает, что графы, вершины которых
содержат внешние линии с одинаковой ки-
ПРАВИЛА ФЕЙНМАНА ДЛЯ СУПЕРГРАФОВ С N = 1
199
ральностью, не расходятся. Иначе говоря, добавлять бесконечные контрчлены
