Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
представлении:
4A = e-vTDAevT, VA=Dk. (17.141)
Подставляя сюда соотношение, связывающее Vt с ?2, Q и V, найдем
yA = e\r^Aeve~9. (17.142)
Удобно производить вычисления с производными, симметричными по фоновому
полю, поэтому, выполнив неунитарное преобразование
VN-*e~*4Ne*, (17.143)
получим выражение для ковариантных производных
VN = (e~vS)Aev, 3>к, Vn), (17.144)
где
{Va> Va}=-2Цо\Ау". (17.145)
Эти производные имеют особенно простые трансформационные свойства:
в квантовом случае VN->eAVNe~A, в случае фоновых (классических) полей VN-
-*eKyNe~K.
Ненулевая напряженность поля наинизшей размерности может быть записана,
как обычно, в виде
Гл = -2/[Vй, {Ул, V*}]- (17.147)
208
ГЛАВА 17
Прежде всего умножим киральные поля фт на е~а, чтобы
они удовлетворяли фоновой киральной связи
3>АФт = 0. (17.148)
Поскольку поля fr преобразуются линейно, мы можем представить их в
виде двух слагаемых:
Фт-Фв + Фя- (17.149)
Оба слагаемых преобразуются под действием квантовых преобразований
следующим образом:
Фо^е^, (17.150)
где величина принадлежит соответствующему представле-
нию калибровочной группы, причем она ковариантна относительно фоновых
киральных преобразований. Под действием фоновых преобразований эти поля
преобразуются как
Фц-^еХфе. (17.151)
Наиболее общее перенормируемое действие имеет вид
А = 64^ S й4хйЩ Tr WAW* + J d4хйЪФта (egv)ab Фг +
+ йаЬсфтафтьфтс + фтафть + эрмит. сопр. j .
(17.152)
Для квантования теории мы выбираем слагаемое, фиксирующее калибровку (по
отношению к фоновым преобразованиям), например, следующим образом:
<2)2F_f = o, 2)2V-f = 0. (17.153)
Соответствующий детерминант Фаддеева - Попова Л определяется из
соотношения
A J dAdAd {SD2V'K - f) 6 ((r)гУ1 - f) = 1. (17.154)
Амплитуда перехода вакуум - вакуум равна
Z \j] = J [т2>Фо(r)фя' ехр \iA + i J dszjV +
-f- Г i d/|xd2QjфQ эрмит. сопр.)j {Л6 {3A1V'K - f) b{SD2VK - f)}.
(17.155)
ПРАВИЛА ФЕЙНМАНА ДЛЯ СУПЕРГРАФОВ С N - 1 209
Детерминант А может быть представлен следующим функциональным интегралом:
^ {ФсФс'тт') ехр г ^ d8z |(с' + с') А ( - ^") А
А [(с + с) + (с^-7г)л {с - с)]}. (17.156)
Хотя это выражение выглядит так же, как и раньше, заметим,
что теперь духи являются фоновыми ковариантными киральны-
ми полями.
Интегрируя, мы можем усреднить по всем возможным калибровкам:
J ехр + &&)). (17.157)
Ковариантные фоновые киральные поля b и Б - духи Нильсона - Каллош,
которые антикоммутируют и дают вклад только в однопетлевом приближении.
Часть действия, соответствующая теории Янга - Миллса, имеет вид
^C2{G) S d%z Тг {-e-v?>Aev?>2e-v?)Aev -\v {Ф2Ъ2+2)22)2) V } .
(17.158)
а билинейная по полю V часть, отвечающая всем однопетлевым графам, дается
выражением
-16Сг1((?)- J dsz Tr {V (SDAS)2S)A - ~ (?>232 + ?>2?>2)) V\. (17.159)
Нетрудно убедиться, что оно равно
- -гасйог) ЛТг К ((r)"(r)" - -ПГ и}.
(17.160)
Читатель может заметить, что в этом выражении имеется только одна
ковариантная спинорная производная. Поскольку в каждой петле необходимы
четыре спинорные производные по внутренним переменным, чтобы отвечающее
ей выражение было ненулевым, первый ненулевой однопетлевой граф с
внутренними линиями, соответствующими полям Янга - Миллса, содержит
четыре внешние линии и имеет вид W2W2.
В общем случае эффективное действие Г должно быть калибровочно-
инвариантным функционалом фоновых потенциалов An. Кроме того, оно
удовлетворяет (N - 1)-теореме о "непере-
210
ГЛАВА 17
нормировке" и, таким образом, может быть выражено в виде интеграла по
всему (N - 1)-суперпространству.
Следовательно, контрчлены должны иметь вид
Z ^ d*xd*Qf (Ав, 0аАв, . ¦¦ (17.161)
Из соображений размерности следует, что единственно возможное выражение
имеет вид
Z J d*xd*eAcBDcAcB +_________________________________________________
(17.162)
Его можно переписать в виде
Z d4xd2QWcBWCB, (17.163)
где W°b = DcА°в. Это свидетельствует о том, что теория Янга - Миллса с N
= 1 может содержать бесконечную перенормировку волновой функции. По тем
же причинам, что и в случае обычной теории Янга - Миллса, расходимости,
отвечающие взаимодействию и волновой функции, должны удовлетворять
соотношению ZgZy = l. Эти результаты, конечно, согласуются с нашими
явными вычислениями там, где возникают такие расхо-
димости.
18. СВОЙСТВА УЛЬТРАФИОЛЕТОВЫХ РАСХОДИМОСТЕЙ ТЕОРИЙ С РАСШИРЕННОЙ
ГЛОБАЛЬНОЙ СУПЕРСИММЕТРИЕЙ
В гл. 17 мы заметили, что модель Весса - Зумино, содержащая члены
взаимодействия, имеет даже меньше бесконечных констант перенормировки,
чем можно было ожидать, исходя из требования сохранения суперсимметрии в
рамках процедуры ренормализации. В самом деле, в этой модели имеется
только одна бесконечная константа перенормировки, как в теории Янга-
Миллса с N = 1 (в формализме фонового поля или в специальной калибровке).
При исследовании теорий с расширенной суперсимметрией можно ожидать еще
более замечательного поведения в ультрафиолетовой области.
Н аиболее впечатляющие ренормализационные свойства - конечность большого
