Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
улучшенные фейнмановские правила.
Но прежде чем вывести эти правила, напомним некоторые свойства
интегрирования и функционального дифференцирования в суперпространстве,
изложенные в гл. 14. Интегрирование в суперпространстве [52], как его
определяют в настоящее время, полностью эквивалентно дифференцированию.
Полный
ПРАВИЛА ФЕЙНМАНА ДЛЯ СУПЕРГРАФОВ С N =¦ 1
181
интеграл по суперпространству записывается в виде
J dsz= J d4*d40 = (~Т^2)' <17Л>
где D2 - DaDa и D2 = DaDa. Киральный внутренний интеграл дается
выражением
\jdixd2Q=\jdix{^-\D2'). (17.2}
Общая 8-функция в суперпространстве обладает свойством
J d8z'f (2') б8 {z - z') = / (г) (17.3)
и может быть записана в виде
б8 (2 - г') = б4 (х - х') б4 (0 - 0'). (17.4}
Функция 84(0) имеет форму <~0202. Для общего суперполя V мы определяем
ЛуУ((х1; в'У - (2 - 2') = б4 (х ¦ х') б4 (0 - 00, (17.5}
тогда как для кирального суперполя имеем
-щ$$Г = - ^ 64 - х') 64 (0 - 0') = - -т-68 ~ 2')- (17-6>
Это обеспечивает выполнение условия киральности D^<j>- 0. Отметим
следующие формулы для ковариантных производных:
D2D2D2=m2D2, D2D2D2=l6d2D2, (17.7)
5Ю2ф = т2ф (17.8)
для кирального суперполя ф. Мы можем записать киральный интеграл как
полный интеграл по суперпространству в следующем виде:
^ d2Qd4xф ¦ j= \ d2Qdixф (-^г) =
= $ d20 (- |я2) #хф (-=^-) = - J #М*хф-$, (17.9}
где ф и j - киральные суперполя.
Операторы D и б-функции удовлетворяют соотношению
2 ~~2 С 4
6i2Z)i7)i6i2 = I6612 под знаком интеграла I d х, причем член,
имеющий менее четырех операторов D, стоящих между 8-функциями, равен
нулю.
182 ГЛАВА 17
17.1. Общий формализм
Построение фейнмановских правил для суперграфов аналогично построению
обычных фейнмановских правил, которые следуют из вычисления
функционального интеграла по теории возмущений. Общее суперполевое
действие имеет вид
5 = ^ d4xd40i? (V, ф, ф) + | ^ d4xd2QW (ф) + эрмит. сопр. J ,
(17.10)
где V - общее суперполе, а ф - киральный мультиплет. Например, V . может
включать компонентные поля Янга - Миллса ¦с JV=1 в х-пространстве, тогда
как ф может содержать компонентные поля модели Весса - Зумино.
Мы определим амплитуду перехода из вакуумного состояния в вакумное
(вакуум - вакуум) в присутствии внешних источников J для суперполя V и в
присутствии источников / для ф (/ - киральное суперполе с той же
киральностью, что и ф):
Z[J, }] = n\[DV D</.D^]exp{|(S + l/ ./+*./)}, (17.11)
где
V • J = ^ d4xd4QV • J, ф ¦ j = j) d4xd2Qфj + эрмит. сопр., (17.12)
JV = [Z(/ = 0, / = 0)Г
Тогда имеем обычный результат
-1
6J (1) ... 6/ (п) ... 6/ (т)
bmZ [/, /] / 1\т .
= (y-J G'm{\, ..п, п+\, ..т),
(17.13)
/=о
/" О
где
G'm(l, и+1, ..., m) = <0|7V(l) ... У(п)ф(п+ 1) ...
...ф(т) |0) (17.14)
-функции Грина.
Определим далее производящий функционал W[J,j] связных функций Грина Gm {
1.....п, п -f- 1, ..., т)
h
bmW [J, j]
1 W[J, /] = lnZ[7, /], (17.15)
ti б/ (1) ... б/ (/г) б/ (/z + 1) ... 6/ (m)
(i \ m
¦j) Gm( 1 n, n+ 1, m). (17.16)
ПРАВИЛА ФЕЙНМАНА ДЛЯ СУПЕРГРАФОВ С JV - 1
183
Поля Ф и v определяются соотношениями
Ф = аиг/а/, Ф = аг/а7, v = bw/bj, (17.17)
причем эти соотношения можно обратить и представить j и / как функции Ф и
и. Эффективное действие Г(Ф, и) или производящий функционал одночастично
неприводимых графов. Гт(1 т) дается выражением
Г (Ф, v)=*W[j[ Ф, о], /[</>, v]]-(j-ф + J-v). (17.18)
В этих формулах W[J,j\ понимают как величину, зависящую' от /, J и /,
хотя зависимость от ] на самом деле часто отсутствует.
Мы разделяем действие на свободную часть и взаимодействие:
S - S° + Sint. (17.19)
Тогда, полагая для удобства ft = 1, можем написать
JJ Z [/, 7] = ехр {/Sint (4- , ±±)z0[j,J} }, (17.20)
где
Z0[j, J} = NQ\D4>DfDVexp{i(SQ + J ¦ Г + j- (17.21)
Выполняя полностью интегрирование в Z0[j,J], мы получаем пропагаторы
теории. Эти интегралы имеют форму
/ [//] = ^ ехр i ^хТАх -j- хТу^ dx dx. (17.22)
Они гауссовы и после сдвига переменной интегрирования могут быть
вычислены:
/ [у] =, const • ехр ( - у. (17.23)
На языке свободной двухточечной связной функции Грина находим
Z0 [7, /] = ехр (- y ^ / [х{) G (хи х2) I (х2) dx{ dx2 +
+ слагаемые, включающие j и j ). (17.24)
17.2. Мультиплет Весса - Зумино
Вклад мультиплета Весса - Зумино ф в Z0 имеет вид
Z0 [7] = ^ [Df Df] ехр i j d8zfa + dixd2Q (j ф + тф2 +
+ эрмит. сопр.)|. (17.25)
184
ГЛАВА 17
Используя тот факт, что
02Б2ф = + 16д2ф,
(17.26)
можно записать интеграл как полный интеграл по суперпространству:
А [/] = J Оф Офехр i J dsz (фф - -g--J ф -^-ф - у ф -J- ф -
г от Р2 1 Г Р2 .
г а2 Г ^ 1 4а21
1 от Р2 D2 -
L 4(Э2 / J
Х|^(ф, ф)
Это интеграл вида (17.22); он равен
expj-Z $d8z-g-(-g^/, Г) А
г- Р2 .
4<Э2 ^
Р2 -
1- 4(Э2 / J
от Р2 . 4'_аг
где матрица А-1 обратна матрице
А =
Используя соотношения
от Р2
Т12
* 1П
i й Ь'2" -I
можно убедиться, что
D2D2D2 = l6d2D2 D2D2D2 = 16d2D2,
Л"' =
отР2
1 4
4 (<Э2 - от2) от2Р2Р2
1 +
от2Р2Р2
16(Э2 (<Э2 - от2) отР2
(17.27)
(17.28)
(17.29)
(17.30)
