Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
+ ^ d4xd2Bc'D2 (Я (V) с + Я (V) с) + эрмит. сопр. | з=
= ^ [SDcSDc'ФсЗ)с'] ехр (iAFP) =
= ^ [SDcSDc'3)cSDc'] ехр i ^ dsz | (Я + с') - { (-\) Л (с + с) + + (cth-
?•) Л (<7-*)}}. (17.76)
Духовые поля с и Я киральные (Яд с = 0 = Яд с'), а поля с и с'
антикиральные. Наконец, интегрируя, можно усреднить по возможным
калибровкам
J [?75^] ехр (-^(5 ffd*z)). (17.77)
/
Поскольку это выражение не зависит от полей, вводить духи Нильсена -
Каллош не требуется.
Окончательный ответ имеет вид
Z [/] = J [2>VS>cS>c2>c'S>c'] ехр {iAm + iAFP + ij ¦ V -
- -L J d8zV {D2D2 + D2D2) v} . (17.78)
Из такого действия легко получить вершины теории Янга - Миллса.
Взаимодействие полей Янга - Миллса с полями материи описывает слагаемое
\d8zfa(e8V)abtb, (17.79)
и отвечающие этому действию вершины непосредственно получаются из него.
17.4. Приложения правил Фейнмана с N = 1
В качестве первого примера применения фейнмановских правил с N= 1
для суперграфов вычислим однопетлевую поправку
к пропагатору в безмассовой модели Весса - Зумино, действие
которой имеет вид
А = ^ d4xd4Q<j><f + -ff { ^ d4xd2B<p3 + эрмит. сопр. j . (17.80)
ПРАВИЛА ФЕЙНМАНА ДЛЯ СУПЕРГРАФОВ С N = I
193
Соответствующая диаграмма показана на рис. 17.1. Поперечной чертой
отмечено поле </>, входящее в пропагатор (фф). Используя
Рис. 17.1.
приведенную выше формулировку фейнмановских правил в евклидовом
пространстве, для этого графа находим
1 г d4p d4k ( D]\( Dl\
2 ОТ $ w (SF ^(- "• е'> 1- -r) tJ X
Учитывая равенства
7)2612:
: 7)1612, 6i2T)iT)i6i2 = 16612
и выполняя интегрирование по 02, получаем
т я2 5 ^р'01^л ^01^'
где
1
(17.81)
(17.82)
(17.83)
(17.84)
d*k 1
(2л)4 k2 (р + fe)2
комбинаторный множи-
Коэффициент 1/2 представляет собой тель графа (1/2 = (3 X 3 X 2)/(3!3!)).
Поскольку этот граф логарифмически расходится, теорию необходимо
регуляризовать. Мы используем метод размерной редукции [92-94]. При этом
алгебраические операции с у-мат-рицами и операторами 7) выполняются как в
четырехмерном пространстве, в то время как интегрирование по импульсам
производится в v = 4 - 2е измерениях. Это означает, что если а изменяется
в интервале от 4 - 2е до 4 и при этом i изменяется от 1 до 4-2е, то мы
полагаем ka и <5а равными нулю. Это отличает размерную редукцию от
размерной регуляризации [95], где алгебра у-матриц и интегрирование по
импульсам задаются в v измерениях. Поскольку при изменении размерности
пространства числа состояний фермионов и бозонов изменяются по-разному,
метод размерной регуляризации, очевидно, не со-
194
ГЛАВА 17
храняет явно суперсимметрию. На самом деле размерная редукция также не
сохраняет явно суперсимметрию, так что для ее сохранения необходимо
нарушить тождество Фирца (см. последнюю статью в [93]). Но отсутствие
суперсимметрии не проявляется на уровне низших членов разложения по числу
петель. Обсуждение аномалий в супертоке дано в работах [96].
Регуляризация методом размерной редукции означает использование алгебры
операторов D в четырех измерениях, но интегрирование по импульсам в v
измерениях. Следовательно, в рассмотренном выше примере А(р) принимает
вид
, г(2-1)(г(т-'))г^'2-г , , ,
(4яр/2 Г (v - 2) (4я)2 е '
(17.85)
При вычислении в формализме компонентных полей можно либо использовать
непосредственно поля при ц=1, .4, либо произвести разбиение на набор
полей {Лг, 5а}, где Sa- так называемые е-скаляры. Выполнив это разбиение,
найдем, что в общем случае действие, записанное в компонентном
формализме, содержит калибровочно-ковариантные кинетические члены- 1
/2(D;Sa)2 и члены взаимодействия
-52(Л2 + В2) и (17.86)
Но действие не содержит члена вида SadaA, так как даА = 0. Различие между
схемами размерной редукции и размерной регуляции состоит во вкладе
"скалярных" полей S0.
В общем виде безмассовая перенормируемая (N = 1)-супер-симметричная
теория имеет вид
Л = -^Ц- 5 йЫе Tr WAWA + 5 (eev)a ьфь +
+ | ^ й*хй2МаЬсфафьфс + эрмит. сопр. | +
+члены, фиксирующие калибровкудухи, (17.87)
где Vab = Vs(Ts)ab и (Ts)ab - генераторы калибровочной группы G в
представлении R, которому принадлежит киральное поле материи. В
калибровке Весса - Зумино это стандартная перенормируемая теория поля. Ее
перенормировка в суперпространстве затруднена из-за неполиномиального
вида членов взаимодействия, включающих суперполе V [97].
ПРАВИЛА ФЕЙНМАНА ДЛЯ СУПЕРГРАФОВ С N = I 195
Вычислим теперь вклад поля Янга - Миллса с N= 1 в пропагатор фф и
предположим для простоты, что представление R
(р + к)
Рис. 17.2.
является неприводимым. Соответствующий граф изображен на рис. 17.2. Этот
граф дает
g2 (T\b (Т% с \ d%d% ygr фа (- р, 0,) X
х(-^)(-4)(-4)(Ш<^>- <-)
Используя те же соотношения, что и выше, мы придем к результату
- ё2с (Я) S Л%фа (- р, Qi) фа(р, 0!)Л(р), (17.89)
где
(:Г)аЬ(Т*)ье = 6аеС(Я)• (17.90)
Отрицательный знак интеграла (17.89) связан с тем, что пропагатор <VV)
равен пропагатору фф с противоположным знаком.
Рис. 17.3.
Рассмотрим чуть более сложный пример. Найдем однопетлевую поправку к