Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
Часто фейнмановские правила формулируют после перехода в евклидово
пространство. Произведя упомянутые выше изменения, связанные с этим
переходом, найдем правила для евклидовой теории:
I. Пропагаторы имеют вид
1Г_ Вершины включают множитель X и множитель -1 /4D2(-'ДО2) для каждой
киральной (антикиральной) внутренней линии, кроме одной (если линии
являются внешними, то включаем в вершину упомянутые выше множители, для
каждой такой линии). Значит, внешние линии множителей -'/4В2(-у4D2) не
содержат.
III. Сопоставляем интегрирование
d*x - - idixE, х2Е = х2 х2.
(17.51)
Как обычно, kE = {kit, k), где &4 = -ikQ, так что cBk = id%, k\ = k\ +
k2.
(17.52)
(17.53)
каждой петле,
каждой вершине.
внешним импульсам,
ПРАВИЛА ФЕЙНМАНА ДЛЯ СУПЕРГРАФОВ С N =¦ 1
189
IV. Обычные комбинаторные множители.
Выше использовалось соотношение (для числа петель) L = = /-V+1, чтобы
исключить множители i из пропагаторов, вершин, интегралов по петлям и,
наконец, 8-функции, связывающей начальное и конечное состояния. В этих
правилах опущен множитель -i для каждого пропагатора, -\-i для каждой
вершины, +г для каждого петлевого интеграла и -i для каждой 8-функции. В
итоге опущен множитель (г)(-/+l/+L-1), равный единице.
Эффективное действие можно найти, применив приведенные выше правила к
одночастично-неприводимым графам. При этом интегрирование по петлям
должно содержать внешние импульсы, соответствующие фоновым полям, а также
необходимые коэффициенты, учитывающие симметрию.
17.3. Суперсимметричная теория Янга - Миллса
Перейдем теперь к супермультиплету Янга - Миллса, который содержится в
суперполе V. Действие имеет вид
^M = _i_Tr ^с1ахс1ШаШа, (17.54)
где
WA = U2{esVDAe+sV). (17.55)
Подразумевается, что след содержит множитель 1 /С2(0). Хотя обычно к
киральным интегралам добавляют эрмитово-сопряженные слагаемые, этот
интеграл при данном WA действителен. Его можно переписать в виде
Л ям = _ _|?_ J d8zWA (e-&vDAe&v), (17.56)
дям = IL ^ds2 | VDAD2DAV + gV {DAV, D2DaV} -DAV^21V' DaV]+j(DaV)D2[V, [V,
DAV}}) +
+ О (E5) |. (17.57)
В действие, квантуемое по теории возмущений, мы должны добавить член,
фиксирующий калибровку. Он имеет вид (ниже мы обсудим проблему духов)
- Tr J d8z -j ЕП0д21/ = - -^-Tr J d8zD2VD2V, (17.58)
190 ГЛАВА 17
где П0 -один из проекторов П, = (П0+, Пу2, П0_), i=l, 2, 3:
ЪгП2 D2D2
(17-59)
п0 = П0+ + П0_ (17.60)
и
DaD2D DaD2D-
Ш/2 =----------------=-------------------------(17.61)
8дг 8д2
Приведенные проекторы удовлетворяют соотношениям
3
1п,= 1, П,П/ = в,/П/. (17.62)
г=1
В формализме компонентных полей член, фиксирующий калибровку, содержит
выражение (дрД^)2, а также слагаемые, в которые входят суперпартнеры поля
А№.
С этим фиксирующим калибровку членом квадратичная по суперполю V часть
действия принимает вид
Л(ям = Tr J d8z [-1 V { - П1/2 - } d2V] • (17.63)
В суперсимметричной калибровке Ферми - Фейнмана, а = +1>
это действие имеет особенно простой вид
Л(ям = _ Tr J d8z yV62V. (17.64)
Итак, амплитуда перехода вакуум - вакуум в присутствии источника имеет
вид
Z0 [/] = N0 J [dV] ехр i {Лям + J • V]. (17.65)
Интегрируя по V, находим
2° [J] = ехр { + J dszJ [Щ/2 + аП0] - / }. (17.66)
Двухточечная связная функция Грина равна
G(l, 2) = - (Ш/2 + аП0) -Jj- 6s fa - z2), (17.67)
a в импульсном представлении она принимает вид
0(р) = (+П1/2 + аПо)-^-612. (17.68)
ПРАВИЛА ФЕЙНМАНА ДЛЯ СУПЕРГРАФОВ С N = 1 191
Переходя, как и выше, к евклидову пространству, получаем пропагатор
е(р)--(П1/2 + аП0)Дг612, (17.69)
который в суперсимметричной калибровке Ферми - Фейнмана имеет простой вид
G(p) = -^6I2. (17.70)
Вершины легко получить из действия.
Наконец, мы должны добавить духи для восстановления унитарности. Это
можно сделать непосредственно, используя обычные методы [91]. Члены,
фиксирующие калибровку, выражаем в соответствии с калибровочными
преобразованиями, содержащими киральный параметр
D2V - f = 0, D2V - f = 0. (17.71)
Детерминант Фаддеева - Попова Д определен условием
A J [ФКФК] 6 (D2VX -f)6{D2Vx-f)=l, (17.72)
где суперполе Vх есть преобразованное поле V с параметрами (Л, Л), т. е.
VX = V + ^-A{-(A + A) + (cthV/2) Д (Л - Л) + ...} =
= V + Я (7) А + Я (V) А + .... (17.73)
Амплитуда перехода вакуум - вакуум дается выражением Z [/] = J т ехр
(1-Аям + / • V) ¦ Дб {D2V - f) б (D2V - f). (17.74)
Так как в это выражение Д и 6-функции входят в качестве со-
множителей, мы лишь требуем, чтобы детерминант имел некоторое отличное от
нуля значение Д' при D2V - f и D2V = f. Единственный вклад в величину Д'
возникает от интегрирования по переменным Л, Л в (17.74), когда Л, Л
близки к нулю. Поэтому мы можем использовать приведенные выше уравнения
для Vх и пренебречь членами порядка Л2, что в результате дает
Д' J[2DK2DA.] 6 (D2(H (Е)Л + Я(Е)Л)) • 6 (Ъ2 (Я (V) А + Я (Е)Л)) = 1.
(17.75)
192 ГЛАВА 17
Используя свойства б-функции, найдем, что детерминант А' может быть
представлен в виде
А' = J [Фс&с'&с&е'] ехр i { J ddxdWD2 (Н (V) с + Н (V) с) +
