Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
формализм. Пусть имеются любая группа G и ее подгруппа Н. Можно
определить некоторое отношение эквивалентности между двумя элементами gy
и g2 группы G:
ё1 ~ ё2> если и только если g2~lgi ^ Я.
Это отношение таково, что при объединении эквивалентных элементов из G в
один класс группа G разбивается на непере-секающиеся классы. Множество
таких классов и есть фактор-пространство, обозначаемое G/Н. Данное
фактор-пространство можно параметризовать выбором какого-либо элемента в
каждом классе смежности в качестве представителя данного класса. Действие
группы G на фактор-пространстве задается естественным действием G на
выбранного представителя. Иными словами, если jeG, то результат его
действия на класс смежности, представленный элементом gy, есть класс
смежности, содержащий элемент ggj. Легко убедиться, что это действие не
зависит от выбранного представителя.
Фактор-пространство G/Н можно параметризовать координатами ?я (я=1, ...,
dim G - dim Я), так что представители могут быть записаны в виде Ь(%л). В
качестве одной из пара-
106 ГЛАВА 14
метризаций используется экспоненциальное отображение. Любой элемент
группы можно представить в следующем виде:
g = exp (IяКп) exp {wlHi),
где Hi - генераторы подгруппы Н, а Кп - остальные генераторы. Удобная
параметризация фактор-пространства получается при wl = 0.
Построив фактор-пространство G/Н, естественно рассмотреть на нем
геометрические объекты, такие, как тетрады, спиновые связности и т. д.
Желательно, чтобы эти объекты отражали симметрии фактор-пространства.
Инвариантные тетрады епп и спиновые связности w'n в случае редуктивных
фактор-пространств определяются формулой
Ь-1(r)дпЬ(r) = епяКп + тп%.
Ковариантная производная имеет вид
Dm - eNn (дп + wnlT {),
где Ti - генераторы подгруппы Н, отвечающие полям, на которые они
действуют. Более детальное обсуждение этих вопросов можно найти в работе
[6].
Для простоты мы начнем рассмотрение с (N = 1)-супергруппы Пуанкаре,
обозначаемой SP, и построим фактор-пространство SP/L, где L - группа
Лоренца.
Общий элемент группы SP можно записать в виде
go = exp {а^Рр + &aQa + eAQA) ехр{^- wmnJmn}. (14.1)
Фактор-пространство SP/L, называемое (N = 1)-суперпространством,
параметризовано координатами (х0Л, 0Л) = 2Я, где точка 2я соответствует
элементу группы
exp {х^ + QaQa + QaQa }; (14.2)
здесь Кл ¦ Qa> Qa)'
Под действием элемента группы g0 (14.1) точка с координатой 2я
преобразуется в точку z'n, где точка z'n определяется равенством
?0/Чт= Де1/2."т" (И_3)
В низшем порядке разложения по аwmn и еа находим е2 к"=ехр |2ЛДП -f- а^Рц
+ e-QU + &~QA + ~2 + &~Qa +
+ е-^4 + wmn]mn, гяКл] + • •. } exp |y wmnJmnj. (14.4)
СУПЕРПРОСТРАНСТВО 107
При этом мы использовали соотношение esAeB = exp \в + еЛ + е ^ . ,
j,, [.. . [А, В] . .., В] + О (е ) 1;
I п=\ п коммутаторов )
таким образом,
x'v- - х11 + а11 + ieA (ст^)лд 0Л - г'9л (о^)лд ел + w^vxv,
q'a = 0d + 8d + _L. (amn)lB Q-wmn, (14.5)
e'd'=ел + еА _ -L е"
Для упрощения обозначений в большинстве последующих уравнений мы будем
писать индексы искривленного пространства0Л в виде 0Л. Поскольку QA и Рu
коммутируют, эти преобразования представляют собой преобразования
суперсимметрии во всех порядках по ёа. Вычисляя коммутатор двух
преобразований суперсимметрии, находим, что преобразования действительно
реализуют представление (N = 1)-супергруппы Пуанкаре. Например, в случае
двух преобразований суперсимметрии получаем
?ig2 = exp { е ,aQa + } exp { s2BQB + 4BQB } = (14-6)
= exp {(e,A + e/) <ЭЛ + (еД + е2л) QA -
QB}-4-eiV{Qn, QB}+• ••}• (H.7)
С другой стороны, действуя двумя последовательными преобразованиями на
ez'K, а именно fee2'*) = ег'2-к, находим
xl2m = xf + ЩА (от)Ад (6А + е2л) - i (0Л + е2л) (ат)лА "Л п я оч
(14.0)
012А = 9Л + ер4 + е2л, 012л = 0Л + е,л + е2л.
Сравнивая слагаемые вида eie2 и вычитая слагаемое с переставленными
индексами 1 и 2, получаем соотношение
{QA,QB} = -2i(am)ABPm. (14.9)
Рассмотрим теперь функции (суперполя), определенные на (N = 1)-
суперпространстве. Скалярное суперполе определено уравнением
ф'(2Г) = ф(г). (14.10)
Для согласования с обычным методом вычисления коммутаторов,
применяемым в суперсимметрии, который мы кратко рас-
108 ГЛАВА 14
смотрим ниже, примем пассивную интерпретацию действия преобразований
группы, а именно
G (g)f(z) = f(T:(g)z), (14.11)
где i:(g)z = z'. Для пассивной интерпретации преобразований находим
6* =¦ ф (г + 6г) - ф (г) = +6дяТя*дяф (г) = + 8^ (z), (14.12)
где для элемента малой группы tgN точка г" отображается
в точку 2/л = г" -f- 8gNfKN- Поэтому инфинитезимальные операторы (векторы
Киллинга), соответствующие преобразованию суперсимметрии в
суперпространстве, имеют вид
Xtf - fifndn = (lm> Ia> Iа , 1тп). (14.13)
Буква / обозначает конкретную реализацию генераторов Рт,
Qa, Qa' ^тп в терминах дифференциальных операторов. Рас-
сматривая преобразования (14.5), получаем
- дт - 1а = ^дЛ "Ь г" (а )лл ^л = "4"
+ i (ОлЛ QAdm, (14.14)
