Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
в (13.8). Аналогично выводится формула для /•'-плотности. Окончательные
выражения имеют вид
[V]D = J d*xe\D - Ц- ф • YYs^ - 4 xNH + Т хМК ~
- 4 иАа (Ъа + 4 е_1ке,1рахфрУгФм.) -
- 4^(;YsY • R --JxcLs-o}' (13.28)
где Ls-g - лагранжиан (N = 1)-супергравитации, и
[S]F = J d*xe {К + j ф • ух +1 (A + iy5B) ф, - (NB + MA)}.
(13.29)
Это завершает построение локального тензорного исчисления в
суперсимметричных теориях.
Теперь открыт прямой путь к построению любого взаимодействия с
супергравитацией. Сначала заметим, что действие супергравитации имеет вид
А3~в = --^П]о-т^- (13'30>
Космологическая постоянная равна
tn [1]к = - ет\м ^•
Кинетический член действия Ас, отвечающий супермульти-плету киральных
полей материи S, может быть найден двумя способами:
^c = 4[sXsb = Tfs-T№- (13-31>
После коротких вычислений получаем следующее выражение в терминах
компонентных полей:
Ас = J d*xe {- ±DaADaA - 4 DaBDaB - 4 Х&Х +
+ Т р2 + 4 °2 + Ц- ~П"(В + iVsA) Г) X ~
- ~xN (FB + GA) + 4 ex (GB - FА) М~
100
ГЛАВА 13
- Ц- (ьа + -§• ие 'e^^pY^n) {(BDaA-ADaB)- yXYsYax) -
- ^%(в - i\sA) (*Y5Y • R + -
-^-(A2 + B2)LS-g}- (13.32)
Видно, что присутствует слагаемое (A2-\-B2)R, и в этом смысле
взаимодействие не минимально. Обычный член взаимодействия имеет вид
= + А-5.5.5^. (13.33)
Вычисление его компонент мы оставляем читателю.
Наиболее общее взаимодействие скалярного мультиплета с супергравитацией
дается выражением
[f(S)XS]D + [g(S)]F, (13.34)
где f и g- произвольные функции 5. Первое слагаемое можно переписать в
виде [/(5) X Т (S) ] F- Длинные, но непосредственные вычисления позволяют
выразить это слагаемое в терминах компонентных полей. Результаты
приведены в работе [39]. Хотя на первый взгляд действие зависит от двух
функций / и g, в действительности оно зависит только от одной функции,
составленной из / и g. Это утверждение следует из возможности изменения
масштабов полей супергравитации. При определенном выборе функции f(S)
можно даже перед изменением масштабов найти теорию, содержащую член (A2-
\-B2)R, нарушающий минимальность взаимодействия.
Максвелловское действие имеет вид
[Г2]f =\d*xe{--j F^v - -1 ЯДЯ +
+ Т°2 . (13.35)
Снова можно указать более сложные варианты действия; например, [/г(5) W2]
f, где h - произвольная функция S.
Рассмотрим теперь связь максвелловских полей с кираль-ными мультиплетами.
Калибровочные поля содержатся в общем мультиплете V, калибровочное
преобразование которого имеет вид
6 V = DA, (13.36)
где Л - киральный супермультиплет. Поле Аа не преобразуется как
калибровочное; но поле А'а = Аа + (и/2)фа? преобразуется с помощью
приведенного выше калибровочного преоб-
ЛОКАЛЬНОЕ ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
101
разования, имеющего чисто градиентный вид. Это согласуется с приведенным
выше обсуждением максвелловской части су-пермультиплета. Калибровочные
преобразования двух данных скалярных мультиплетов Si и S2 мы определяем
следующим образом:
SS^g-ASi, 6S2.= -g-AS2. (13.37)
Калибровочно-инвариантное взаимодействие мультиплетов St и S2 с
супергравитацией дается формулой
(S,XSi + S2Xs2) (e2gV + e~2gV) + (S, A S2) (e2gV - e~2gV)]D .
(13.38)
Вычисления в компонентном формализме можно найти в работе [35].
Рассмотрим теперь обобщение функционала Файе - Илиопу-лоса ^ на случай
локальной суперсимметрии. Посколь-
ку формула для локальной D-плотности включает все компонентные поля
мультиплета V, выражение [V]d не калибровочно-инвариантно. В
действительности локальное обобщение этой величины есть [35]
[ev]D. (13.39)
Такое выражение не выглядит калибровочно-инвариантным, тем не менее можно
показать, что имеются компенсирующие преобразования полей
супергравитации. Преобразование, компенсирующее калибровочное
преобразование' поля Ац, - локальное киральное преобразование. Можно
также показать, что локальный функционал Файе-Илиопулоса добавляется к
локально /^-инвариантному действию [36,37]. Наиболее общее
взаимодействие, включающее поля Янга - Миллса, мультиплеты кн-ральных
полей материи и супергравитацию, дано в работах [38-40].
Наконец, рассмотрим возможные контрчлены на массовой поверхности (N = 1)-
супергравитации. В этом случае M = N = = Ь^ = 0, так что эйнштейновский
мультиплет обращается в нуль. Первая компонента t^ABC) единственного
отличного от нуля супермультиплета Wabc имеет вид
t(ABC) " (<?v)въ (D^c ~ ?>Жс) (13.40)
(см. гл. 15). Поскольку /(дВС) не содержит выражения, совпадающего на
массовой поверхности с уравнением движения грави-тино, этот мультиплет не
обращается в нуль на массовой поверхности. Следующая компонента
супермультиплета Wabc
102
ГЛАВА 13
включает вейлевский тензор. Супермультиплет Wabc - киральный, так что
W? = WabcWabc.
В самом деле, суперконформное действие имеет вид
[W^F- (13.41)
Контрчлен, содержащий поля на массовой поверхности, в трехпетлевом
приближении равен [34,41]
[W2XW2]d, (13.42)
а для петлевого разложения порядка (4?- 1) имеем
[(W2 х w2)%. (13.43)
В действительности контрчлены существуют при любом нечетном числе петель
