Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
выше двух. Легко построить общий член, т. е.
l(W2)nXW2]F. (13.44)
Может возникнуть вопрос, приводит ли локальное тензор-
ное исчисление для других формулировок, включающих вспомогательные поля,
к результатам, отличным от приведенных,
т. е. к иному виду взаимодействия суперматерии с суперграви-
тацией. Очевидно, что взаимодействия можно сравнивать только после
исключения соответствующих вспомогательных полей. В действительности
тензорное исчисление [42] в новой минимальной формулировке допускает лишь
взаимодействие /?-инва-риантной материи. Было показано [43], что эти
новые виды минимального взаимодействия материи входят в /^-инвариантное
подмножество взаимодействий, содержащихся в первоначальной минимальной
формулировке супергравитации.
Представленное выше локальное тензорное исчисление основано на локальной
супералгебре Пуанкаре. Альтернативный метод [44] состоит в применении
тензорного исчисления, основанного на локальной суперконформной алгебре и
использовании подходящих компенсирующих мультиплетов для построения
неконформно-инвариантных взаимодействий. Преимущество этого метода в том,
что суперконформная алгебра содержит больше симметрий, поэтому, например,
калибровочные принципы накладывают большие ограничения на появление полей
в ковариантных производных. Этот подход был использован в (N = 2) -
супергравитации [45].
14. СУПЕРПРОСТРАНСТВО [46]
В этой главе мы хотим найти метод построения суперсимметрич-ных теорий,
явно сохраняющий суперсимметрию на каждом этапе вычислений. Это особенно
полезно при квантовании су-персимметричных теорий.
14.1. Элементарное введение в [N = 1)-суперпространство
В следующем разделе мы дадим теоретико-групповой вывод суперпространства
и его свойств. Здесь же мы рассмотрим элементарное введение в (N = 1)-
суперпространство для читателя, который хочет использовать
суперпространство в своей работе, но не желает разбираться в концепциях,
необходимых для получения его как фактор-пространства.
Суперпространство представляет собой 8-мерное многообразие,
параметризованное координатами х^, 0", удовлетворяющими соотношениям
- xvx^ = О, .C*0U - 0а^ = 0, 0и0р + 0р0и = О,
т. е. 0а - антикоммутирующие координаты, являющиеся майо-рановскими
спинорами 0а = Сар0р. Преобразования суперсимметрии и трансляции задаются
на этом многообразии следующим образом:
л> = - ёу^б + а", 0'а = 0а + еа,
где еа - антикоммутирующий майорановский спинор. Преобразования Лоренца и
трансляции имеют вид
х'и = х" - com-vxv + а*, 0'а = 0а - coliV -j- (у^)аР 0р.
Теперь мы убедимся, что преобразования суперсимметрии действительно
задают представление алгебры суперсимметрии и приводят в результате к
трансляции соответствующей величины. Выполняя последовательно два
суперпреобразования с параметрами е2 и ei, получаем
- Х\ BiY1* (0 -}- (r)2)> (r)12а- ~Ь (r)1а ~Ь (r)2а-
104 ГЛАВА 14
Меняя местами члены, отмеченные индексами 1 и 2, находим, как и следовало
ожидать,
xi2 - x2i ~ -2eiY^E2 , 012 021 = 0.
Суперполя ф(х^, 0а) являются функциями, заданными на суперпространстве.
Их компонентное содержание можно найти с помощью разложения Тейлора по
степеням 0а:
ф (**, 0") = С (х) + 10уз? (х) - -у 60/С (х) + ^ ёу50Я (х) -
- 4- eYvY5Mv(x) - 000iYs (я, (х) + j- dl (а)) +
+ i(00)2(D(x)-4-d2C(*)).
В этом разложении слагаемое, пропорциональное 0а0р0у0608, отсутствует,
поскольку оно является 5-индексным, антисимметричным по всем индексам.
Билинейные по 0а слагаемые V20a0pM"P можно переписать, разлагая Na$ по
полной системе:
jvap = (с-1)ар к - (у5с_1)ар н + (yVc_Tp А"-
Следовательно, ф(х^, 0") содержит компонентные поля (С,
я, К.А" %а, D).
Перемножая два суперполя фj и Ф2, получаем третье суперполе
Фъ = Ф1Ф2 - С1С2 + 0 (С&2а.-\- C2Z1C1) + • • • .
содержащее компонентные поля (С1С2, Ci^2" + C2?ia,
Определим скалярное суперполе как поле, инвариантное относительно
преобразований суперсимметрии
Ф'(Х', &) = ф(х, 0).
Для вариации суперполя имеем
6ф = ф (х', 0') - ф(х, 0) = ф (х^ - ёуИЭ, 0 + е) - ф (х, 0) = + &(3ф;
следовательно, суперзаряд Qa принимает вид
Преобразования компонентных полей рассматриваются в следующем разделе,
поскольку им отвечают представления, определяемые другими генераторами
супералгебры Пуанкаре.
Для построения действия желательно сначала найти кова-риантные
производные. Несмотря на то что оператор дт = Рт
СУПЕРПРОСТРАНСТВО
105
коммутирует с суперзарядом [Qa, Рт] = 0, спинорная производная <3/<30" не
преобразуется ковариантным образом:
_3_=301_3_ , g
30" 30" З0'р 30" dx'v 30'" дх* '
Но производная, имеющая вид
Z>"==^ + ((^)"'
преобразуется ковариантно. В этом можно убедиться, показав, что
антикоммутатор суперзаряда Qa и этой производной обращается в нуль, т. е.
{Qa, Dр} = 0.
Читатель, не интересующийся подробными выводами, при желании может сразу
перейти к формулам (14.40) следующего раздела.
14.2. [N = 1)-суперпространство
Общий формализм. Все свойства суперпространства можно систематически
получить, рассматривая его как фактор.-про-странство. Изложим кратко этот
