Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
L1 = a1 (DjQ^+ag (D2 Q),
L2 = al(D21Q) + 2a1a2(D1D2Q)-\-al(D22Q) и т, д.
(2.275>
Здесь D1 = d/da1 и D2 = d/da2, а круглые скобки означают, что стоящие в
них величины берутся при ^ = ^ = 0, т. е. в точках и Qg (они не являются
пределами совпадения).
Придадим теперь и р*2 несколько иной смысл, считая, что они представляют
собой единичные векторы, касательные к Q1P1 и Q2P2 в точках Р1 и Р2,
которые рассматриваются в этом случае как текущие точки. Тогда
аргументами Q будут Р± и Р2; мы имеем
DjQ = Qi^i, D2 Q = Qi2pi2,
D"Q = QijjjpHpii, = QiliapV* и т- Д*
(2.276)
Перейдем теперь к вычислению пределов выражений, стоящих в круглых
скобках, и подставим их в формулы (2.275). Появляющиеся в этом случае
инварианты можно выразить через инвариантные компоненты 3-репера
х) В физической литературе чаще встречается эквивалентное понятие
"начальные данные". - Прим. ред.
§ 14. Мировая функция на смежных временноподобных кривых
95
Ферми. Получаем следующие выражения:
^ = й(а1)х(а1) + п(а2)х(аг),
It = Ца1Р1)Х(а1)Х(р1) + 2Q(aiP2)X(ai)X(p2> + Q(a2p2)X(aa)X(p2),
L3 = Q(aiplVl)X(ai)X(pl)X(Yl) + 3Q(aiplY2)X(ai)X(Pl)X(V2) +
+ 3Q(aip2Y2)X(ai)X(p2)X(Y2) + Q(a2p2Y2)X(a2)X(P2)X(Y2), (2.277) Li =
Q(a1plYl61)X(ai)X(pl)X(Yl)X(ei) + 4Q(aipme2)X(ai)X(Pl)X(Yl)X(e2) +
+ 6Q(aiplY2e2)X(ai)X(pl)X(Y2)X(e2) + 4Q(aip2Y262)X(ai)X(p2)X(Y2)X(62) +
QY^) v(02) v(Y2) у(бг)
(a202Y2"2)A АЛЛ.
Аргументами Q-членов служат теперь точки Qlf Q2 и фактически эти члены в
точности совпадают с уже вычисленными в. (2.269) -(2.272). Подставляя их
значения из этих равенств в (2.277), мы окажемся уже вблизи от своей
цели. Однако КФ, в которых записаны формулы (2.277), отнесены к Рх, Р2, а
мы хотим использовать данные Коши в точках Elt Ег. Помечая чертой сверху
величины, вычисленные в точках Ех, Е2, составим выражения
где D = d/ds (заметим, что дифференцирование выполняется не относительно
меры С1 и С2, а относительно меры С0, т. е. по четвертой координате
Ферми). Подставим теперь эти разложения в формулы (2.277) и учтем (2.269)
- (2.272). Во избежание громоздкости обозначений опустим черточки, но
будем иметь в виду, что ферми-координаты и их производные берутся в
точках Ех и Ег. Производные А определяют свойства кривизны линии С0 в
точках Q0, в этой же точке берутся и компоненты симметризованного тензора
Римана (S-члены). Окончательный результат имеет следующий вид:
Х<"1> = x(ai) + SlDX(ai) + g sl D2X(ai) + 0"
X(02) = Х(аг) + ^ОХШ + ^ D2X(a2) + Q3>
(2.278)
(2.279)
где
M2 = -L (s2 _ Sl)2 -= (X(ai) - X(a2)) (X(ai> -
X(a2)),
M3= -i-(S2-Sl)2(X(ai) + X(a2))(DA)(a),
(2.280)
N3 = (X(ai) - X(a2)) (s1DX("l) - s2DX("s)) ,
(2.281)
(2.282)
M4 = -4 (s2 - s^-S^p, (X(ai)X(Pl) + X(ai)X(p2) + X(a2)X(p2) +
+ \ (Si - sx) S(apV4) (X(ai)X(pl)X(Y2) -X(a2)X(P2)X(Yl)) +
+ i-S(aM)X(ai)X(Pl)X(Y2)X(e2),
(2.283)
96
Гл. II. Мировая функция Q
N1=-^b2(s2-sp-^(s2-s1)2(s1DX^) + s2DX(ap {DA)(a)-
- si)2 (DA)w №)тХ^Х(tm) -
-1 (V~ s,)2 {(2Sl + X(ai) + (Sl + 2s2) X("2)} (DM)(b) +
+1 (X(otl) - X(a2)) (s2D2X(tXl) - s2D2X("2>) +
+ 4 №X(ai)DX(ai) - 2s1s2DX("l)DX("2) + s2DX("2)DX(a2)). (2.284)
В предыдущих вычислениях было использовано тождество
5(ар44) = - 25(а44р). (2.285)
В качестве своего рода проверки формулы (2.279) заметим, что оно должно
быть (и оно действительно является) инвариантным относительно
перестановки индексов 1 и 2.
Мы проделали формальные вычисления для случая, когда вг, о2, s4 и s2
рассматриваются как малые величины первого порядка, причем индексы у М и
N в формуле (2.279) указывают на порядок величины. Мы не делали никаких
допущений относительно малости кривизны пространства - времени и кривизны
трех рассмотренных здесь мировых линий, а также не предполагали, что
последние близки к параллельности.
Основное следствие таких добавочных предположений заключается в понижении
порядка малости безразмерных величин М3/М2, N3/M2 и т. д. Кривизна
пространства - времени входит лишь в М4, причем для плоского пространства
М4= 0. С другой стороны, если С0- геодезическая, а координаты Ферми
постоянны, то
м3=х3-х4 = 0.
В процессе применения формулы (2.279) к физическим примерам в § 7 гл. XI
для того, чтобы иселедовать эффект гравитационного поля, опустим Nt, а М4
сохраним.
Глава III
ХРОНОМЕТРИЯ В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ
§ I. Физические наблюдения (ФН) и математические наблюдения (МН)
За исключением отдельных упоминаний о возможных физических приложениях
две предыдущие главы носят чисто математический характер (риманова
геометрия). В математических рассуждениях здесь могло недоставать полной
логической строгости, однако можно с уверенностью утверждать, что эти
главы не содержат поводов для полемики; математика вообще дает мало таких
поводов, поскольку все математики придают один и тот же смысл
используемым ими терминам.
К той же категории наук относится и экспериментальная физика. Однако
этого нельзя сказать о теоретической физике нашего времени и едва ли
будет возможным - о теоретической физике будущего. Это неизбежно, так как
