Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
убедились, что если замена векторного базиса не составляет никакого
труда, то перенос начала координат сопряжен со значительными трудностями.
С физической точки зрения удобнее пользо-^ ваться координатами,
связанными не с отдельной
точкой, а с временноподобной кривой1).
Пусть С -временноподобная кривая, а Р0 - некоторая точка на этой кривой
(фиг. 25). Пусть Х(а) - ортонормированный 4-репер (ОР), переносимый вдоль
кривой С посредством переноса Ферми - Уолкера, причем Я,*4) -вектор,
касательный к кривой С. Пусть А1, В1 и Ь будут соответственно единичным
вектором, касательным к кривой С, первой ^единичной нормалью к ней и ее
первой кривизной, так что аналогично (1.84)
Фяг. 25. Координаты Ъ ^(2.180)
Ферми, отнесенные к вре- "
менноподобной базисной гДе греческие "индексы, как обычно, принимают
линии с. значения 1, 2, 3, a s здесь представляет собой
меру кривой С от точки Р0 до текущей точки. Пусть Р'- некоторая точка в
пространстве -времени, такая, что через нее можно провести единственную
геодезическую, пересекающую кривую С, скажем, в точке Р и ортогональную к
ней в точке пересечения. Пусть s и а -меры отрезков Р0Р и РР'
соответственно, a |х1 - единичный вектор, касательный к отрезку РР' в
точке Р (РР', разумеется, пространственноподобен, так как он ортогонален
к временноподобной кривой С). Определим теперь контравариантные
координаты Ферми2) (кратко, КФ) тонки Р' относительно базисной линии С с
помощью соотношений
Х(а) = <тр'?4а), Xw=s, (2.181)
а ковариантные КФ соотношениями
x<",=WC<b)=x<">,
<Л182)
Мы видим, что для первых трех координат контравариантная и ковариантная
формы совпадают, тогда как для четвертой координаты переход от одной
формы к другой сопряжен с изменением знака.
КФ представляют собой двухточечные инварианты, связанные с кривой.
Другими словами, это инварианты, определенные (в данном пространстве -
времени) двумя точками Р' и Р0 и кривой С. Последняя может быть и
геодезической, но в общем случае это не обязательно.
•) На языке физики временноподобная кривая - это "история" (или мировая
линия) наблюдателя. Как мы увидим в последующих главах, математические
рассуждения настоящего параграфа тесно связаны с физическим опытом.
*) Термин "координаты Ферми" иногда употребляется в другом смысле, а
именно для обозначения таких координат, для которых символы Кристоффеля
обращаются в нуль на некоторой кривой или в каком-либо другом
подпространстве (Ферми [324], О'Райфертай [840]).
§ 10. Координаты Ферми и оптические координаты
81
При переходе от одной базисной линии к другой КФ преобразуются весьма
сложным образом. Эту сторону вопроса мы здесь не будем пытаться
обсуждать. Если же базисную линию не заменять, а просто смещать точки Р0
вдоль этой линии, то закон преобразования КФ становится тривиальным (к
Х<4> прибавляется постоянная). Преобразование выглядит очень просто и в
том случае, когда заменяется 3-репер Л,(а), так как последний можно
подвергнуть лишь вращению с постоянными коэффициентами:
K(ot) = //foi)K(p), Н^)Н{у] = SaY. (2.183)
Соответствующее преобразование для Ха выглядит следующим образом:
^(а) = #(а)2С(р). (2.184)
при неизменном Хи).
Сравнивая (2.18) и (2.181), мы видим, что первые три ковариантные КФ
можно точно выразить через мировую функцию Q(PP'):
Xla)= -Qt(PP')4*). (2.185)
Мы имеем
X(a)X(a) = 2Q(PP')=(T2. (2.186)
Если обозначать черточкой сверху значение величины в случае,
когда в качестве системы координат используются контравариантные КФ(Х(а)
= 0, то
4*) = ва. Аа = 0, А*= 1. (2.187)
Учитывая, что кривая РР'- геодезическая, и используя (2.180) и (1.55 а),
легко доказать, что на кривой С выполняются следующие
равенства [в обозначениях (1.45)]:
?ij = TUj> Г"р = 0, Гр4 = 0, Га4 = Г44, Г?4 = 0. (2.188)
В частности, если окажется, что С - геодезическая, то на С
Sii = rli.i> gij,h = 0, T)k = 0, (2.188а)
где запятая в индексе означает частную производную.
С геометрической точки зрения рассмотренные выше координаты Ферми
являются простейшими из координат, которые можно определить с помощью
временноподобной базисной линии С. Однако с физической точки зрения
пространственноподобная геодезическая РР' - вещь несколько искусственная
и с этой точки зрения выгоднее исходить из" другого построения, заменив
пространственноподобную геодезическую изотропной.
На фиг. 26 показана временноподобная кривая С. Точка Р0 на этой кривой
служит началом отсчета меры s. Пусть ^(а) - какой-нибудь ОР,
претерпевающий вдоль С перенос Ферми-Уолкера, причем ^1(4) = А1 -
единичный вектор, касательный к кривой С, как это показано на фиг. 25.
Пусть Р'- произвольная точка пространства-времени. Проведем через Р' в
направлении будущего изотропную геодезическую, пересекающую кривую С,
скажем, в точке Р.
Определим контравариантные и ковариантные оптические коорди* натых)
(сокращенно ОК) точки Р' относительно базисной линии С
1) Эти оптические координаты отличаются от оптических координат Темпле
