Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
§ 12. Геодезические в координатах Ферми и оптических координатах 87
между точками Р и Р' показана как в случае КФ, так и в случае ОК. Точки
Р0 и Р'-соответствующие базисные точки на С и на Г'. Положим P0P = s,
P'P' = s'. Тогда s = X(4), т. е. интервал равен четвертой координате в КФ
и ОК. Полагая Q = Q(PP'), получим
Х(а) = Х(а) = - SV4). *(4)= -*(*) = *
и в силу (2.207) и (2.214)
¦9 г.
(2.223)
(2.224)
Вводя множитель 0, мы сможем одновременно рассмотреть и КФ и ОК*
Поскольку геодезическая определена, как только задана точка на ней и
направление кривой, мы с
необходимостью приходим к следующего вида дифференциальным уравнениям для
Г':
Р,2Х(а) = /(а) (Хф), DX(V), s), (2.225)
d
Г'
D =
ds
. Геодезическая
S'
- Геодезическая
о
КФ
ОК
Наша задача состоит в отыскании /(а). Проведем некоторые предварительные
выкладки. Согласно (2.180), г0 \Геодезическая имеем
DKа) = ЬА1В(а), Х( 4) = А1,
(2 226) Фиг. 28. Проблема геодезической для коорди-
' нат Ферми и оптических координат,
где D = 6/6s1), а Ь - первая
кривизна С. Если А1 -единичный вектор, касательный к Г' в точке Р', то,
поскольку касательные к геодезической единичные векторы переносятся вдоль
последней параллельно,
Удобно определить
так что
DAV = 0, AVAV=- 1. Hv = Al'Ds',
(Ds')2 = -HVHV
DHV = AVD4 = %HV, X
Ds'
Далее, определим
В (a) - ,
так что
DD(a) = 6L(4)B(a) -{- %B(a) + Д(а)//; Ak -j- Qц'ЬХ\а)Н^ Hk
¦ XD(4) + Qij'hA1 Hr Ah + Qtj.k'AiHi'Hh'.
DL(l\ = bL/глВ
(a)
(2.227)
(2.228)
(2.229)
(2.230)
(2.231)
(2.232)
(2.233)
!) Эти обозначения согласуются с обозначениями (2.225), так как d/bs-
d/ds, когда этот оператор действует иа инвариант.
88
Гл. II. Мировая функция Q
Дифференцируя (2.223) с учетом (2.224) и (2.226), получаем
DX(a) = QrbB(a) - - L(a), (2.234)
а повторное дифференцирование дает D2X(a);= 0D (rbBia)) - 9г]А'А]ЬВ(а) _
- 9-г]Ка)ЬВ' - Qi]hkia)A]Ak - Qm,^a)A}Hh' - DL(a). (2.235)
Итак, мы пришли к уравнению геодезической (2.225). Теперь необходимо
вычислить правую часть (2.235).
Мы имеем также уравнение (2.224), дифференцирование которого
дает
QDr-Z + Q^A'A + L(4) = 0, (2.236)
? = ЬХ(а)В(а)
и
0DV - Dl + 2QijAibBi + QijkAiAiAh + 9.тЛА'Нк' + DLW = 0. (2.237)
До сих пор все уравнения были точными, но дальнейшие вычисления без
аппроксимаций становятся затруднительными. Однако общая схема рассуждений
свелась бы к вычислению DLW с помощью (2.237); затем
из (2.233) следовало бы определить X; далее с помощью (2.232)
найти
DL(a) и, наконец, полученные результаты подставить в (2.235), чтобы
получить уравнения геодезической.
Ситуация значительно упрощается, если принять следующие приближения
(каждое из которых в физических приложениях вполне применимо):
1) Пространство -время почти плоско, вследствие чего [см. (2.95)]
Qy' = giyha', (2.238)
гДе gij' - оператор параллельного переноса, а Л-члены малы; кроме того,
малы Q-члены с тремя индексами.
2) Первая кривизна b кривой С мала, также весьма мала и скорость
изменения b (т. е. Db). Кроме того, вторая кривизна С мала.
3) Геодезическая Г' почти параллельна1) кривой С.
Если бы С представляла собой геодезическую в плоском пространстве-
времени, то, очевидно, мы имели бы D2X(ct) = 0. Как легко видеть из
(2.235), при сделанных выше приближениях Ь2Х(а) оказывается малой
величиной и, следовательно, в правой части (2.235) нужно оставить лишь
главные члены. В таком случае второй и третий члены исчезают, а поскольку
Ds'= 1 (приблизительно), то (приблизительно) Нг = А1 и, таким образом,
(2.235) можно записать в виде
D2X(a) = 0D (гЬВт) - DL(a) - Q1}к\\а)А*Ак - Ак'. (2.239)
Из (2.231) видно, что L(a) -малая величина, а L<4) приблизительно равна
единице. Кроме того, малой величиной является X, и, таким образом,
(2.232) дает
DLm = ЬВ(а) + Оц-ък\а)АуАк + Qirk. КаАуAh'. (2.240)
Удобно ввести компоненты относительно репера Я(а), переносимого вдоль РР'
по правилам параллельного переноса. В этом случае из (2.239)
х) На языке физических приложений это означает, что относительная
скорость мала по сравнению со скоростью света.
§ 12. Геодезические в координатах Ферми и оптических координатах 89
и (2.240) следует, что
D2X(a) = 0D (rbB(a)) - ЬВ(а) - М(а), (2.241)
где
М(а) = ?2(ос44) + 2Q(a44') + Ца4'4> (2.242)
Легко видеть, что 0-член в формуле (2.241) можно опустить. В самом деле,
кривизна Ь мала, величиной Db можно пренебречь, Dr -малая величина и в
силу формул Френе -Серре (1.55)
В (а) = В{к\а),
DB(a) = (сС, + bA J А,|в) + BtAl ЬВ(а). (2.243)
Таким образом, как для КФ, так и для ОК, мы получаем следующее
приближенное уравнение геодезической Г':
D*X(a)=-bB(a)-M(a). (2.244)
Как мы видим, отклонение правой части (2.244) от нулевого значения
состоит из двух слагаемых. Первый член обусловлен кривизной базис-
ной линии1), а второй обязан кривизне пространства -времени.
Остается вычислить М(а), что мы и сделаем с помощью (2.115), произведя
предварительно следующие изменения в обозначениях:
их = 0, и2 = а, k = o~1. (2.245)
