Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
сохранять, так как они связаны и с точкой Р, и с точкой Р2. Имеем
v(a) = О, У(4) = 1, V(4) = - 1, (2.203)
и, следовательно,
2Q (P2Q2) = ds2 [Z(a)Z(a> + 2Z<0,ft(0l4l) + 2Z<a>h(aib2)Z(b>] + 02.
(2.204)
Беря в качестве базисной линии кривую Сг и помня, что все векторы следует
вычислять на базисной линии (так что вторичный индекс 1 можно опустить),
получим для КФ и ОК
X(а) = k^U4^(0) = krW(а), X(1) = S, (2.2)7
и, следовательно,
DX(a) = W(а) + k~1UiAibB(а), (2.206)
где
D = -= -
ds dv
Продолжим рассмотрение КФ, отложив на время вопрос об ОК с тем, Чтобы
вернуться к ним позднее. Вследствие ортогональности, очевидной из фиг.
25, имеем для КФ
и{А1 = 0, (2.207)
что после дифференцирования дает
тtAl + ьи{в1 = О,
-ЬХ,а)В(а\
(2.208)
(4)= -^(a)4
Следовательно, в силу (2.203), (2.206) и (2.208)
Z(") = DX("), Z(4)= 1 + С= -Z(4), (2.209)
где
l = bXwBla\ (2.210)
{Вспомним, что b есть кривизна базисной линии, а В1 -ее первая
еди-
ничная нормаль.)
Подстановка (2.203) и (2.209) в (2.204) приводит к следующему выражению
для метрической формы для координат Ферми в простран-
§ 11. Метрики для координат Ферми и оптических координат 85
стве - времени малой кривизны:
2 Q(P2Q2) = <X> = g(TS)dX"4Xis\
g(a3) = 6a3+2ft(ai32) + 02, (2 2111
g(a4) = + 2Л(ос142) (1 + ?) + 02>
g<44> = - (1 + О2+ 2 (1 + I) ft(4l4l) + 2(1 + 0* A(*4*2) + 0.-Что
касается малых ft-членов, то они входят в (2.97) в виде интегралов от
симметризованного тензора Римана S. Чтобы получить их выражения
относительно координат Ферми, необходимо изменить обозначения, вводя
требование, что канонический параметр и в (2.97) должен быть мерой на
геодезической, с условием, что иг - 0 и и2 - о. Положим для краткости
у a'3X(|1)X(v) = У<|">. (2.212)
Тогда
О
A(ai3s)= У ^ м) uS(a3(iv) du + Ot,
о
о
A(aiii) = T(M'V) ^ (a - ")2S(a4|XV) du + 02,
0
о
A(ai42) = A(a24i) - ^ (c - u) uS(a4nv) du + 02, (2.213)
0
о
ft(4i4i) = y(M"v) (a^-")2S(44nv) du + 02,
0
a
ft(4i42) = У ^ ,(<T ?/) 44|xv) + ^2*
0
Если кривизна b базисной линии мала (как это имеет место в физических
приложениях), то в силу (2.210) ? оказывается малой величиной при
условии, что КФ Х(а) не принимают больших значений. В этом случае мо!жно
несколько упростить (2.211), пренебрегая ?2 и произведениями ? на ft.
Отыскав, таким образом, метрику для КФ (в указанном приближении),
вернемся к обсуждению ОК, для которых имеют место формулы (2.205) и
(2.206), но вместо (2.207) в силу (2.193) выполняются следующие
соотношения:
k~1UlAi = r> 0, r2 = X(a)X(a). (2.214)
Положительный знак у г обусловлен тем, что мы выбрали касательный вектор
Аг так, что он направлен в будущее, а вектор U1 - в прошедшее (фиг. 26).
Из (1.206) теперь вытекает, что
^(a) = DX(a) - гЬВ(а-). (2.215)
В OK U% - вектор изотропный, и, следовательно,
UiUi = 0, U, 1Г = 0,
(2.216)
UayW^ = - U{a)W(tm) = - kXwWw = - kX(a)DX(a) + krl,
86
Гл. II. Мировая функция Q
где ? имеет тот же смысл, что и в (2.210). Но
?/<", = - иш = (t/(a)t/(a))1/2 = kr (2.217)
и, таким образом,
И7<4)= -/¦-1X(e)DX(e) + E = g-Dr. (2.218)
Следовательно, в силу (2.198) и (2.203)
Z(a) = Z<a) = DX(a) - гЬВ(а\ ?*>== -Z(4)=l + ?-Dr.
(2.219)
Теперь мы в состоянии выписать метрическую форму для оптических
координат,- но, поскольку точная формула имеет несколько громоздкий вид,
мы не будем выполнять всех подстановок. Достаточно сказать, что в силу
(2.204) эту форму можно записать так:
Ф = gln) dX{T) dX{s) = 2Q (P2Q2) =
= ds2 [Z(a)Z(a) + 2Z(a)h(aM + 2Z<a,h(aib2)Z<b>], (2.220)
куда следует подставить
Z(a) ds = Z(a) ds = dX(a) - rbB{a) dXw, (2 221)
Z(4)ds= -Z(4)ds = (l + ?)dX(4)-dr.
Что же касается /г-членов в (2.220), то вместо них следует подставить
выражения, подобные формулам (2.97):
О
ft(mmx) = 4 о-1 UmV(s> \ (о - Uf 5(tnnrs) + О.,
о
0
ft(mlBl) = 4о1 t/(r) t/(s) J (о - ы) ы 5(mnrs) du + 0" (2.222)
о
t/(a) = a"1X(a), t/(4)= -га'1, r = (X(a)X(a))I/2.
Как и в случае КФ, выражение для метрики можно упростить, когда кривизна
Ь базисной линии мала, при условии, что Х(а) не принимают больших
значений.
§ 12. Геодезические в координатах Ферми и оптических координатах
Рассмотрим уравнения геодезических в координатах Ферми (КФ) и в
оптических координатах (ОК). Как выяснится в дальнейшем, нижеследующее
обсуждение имеет непосредственную физическую интерпретацию: базисная
линия С этих координат оказывается мировой линией наблюдателя (например,
находящегося на земле астронома), а геодезическая Г', уравнение которой
мы собираемся найти, - мировой линией некоторой свободной частицы
(например, планеты).
В предыдущем параграфе мы нашли приближенные выражения для метрического
тензора в КФ и ОК, откуда, используя (1.31), мы, несомненно, могли бы,
хотя и не без труда, получить уравнения геодезической. Однако этот способ
связан с дифференцированием метрического тензора, и лучше решать задачу
заново. На фиг. 28 изображены временноподобная базисная линия С и
временноподобная геодезическая Г', причем связь
