Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Что касается D-членов в (2.115), то следует взять Ul =dxl/du вдоль
геодезической РР'. Таким образом, в силу (2.224)
Ц = - aUit U(a) = U(a) = - 0-^4*) = о-О^), (2.246)
D(4) = - U (4) = о-1й1Я,(4) = о-^А1 = - 0ГО'1.
Отметим, что мы учитываем здесь и случай КФ (0 = 0), и случай ОК (0=1).
Тогда величина М(а) в (2.244) определится из (2.242) при следующих
значениях П-членов:
О О
Цо44)= - 3o"2D(9) ^ (о -u)2S(a44g)du-i--|o"2D(p)D(9) ^ (о- и)3
S(aipqi)du,
Ца44') = 3a-2D(9) J (o-")2S(a44g)d" + -|a-2D(p)D(9) $ (о - uf "S(a44Pg4)
du,
?^(a4'4') - - 3a"2D<9) jj u2S(44ag)d" + |-a-2D(p)D(9) J (a-и) u*S(iipqa)
du. о 0
(2.247)
Заметим, что в последней формуле порядок индексов изменился.
С целью проверки этих весьма громоздких формул рассмотрим случай, когда
кривая С является геодезической (так что Ь = 0), Г' проходит вблизи С. В
этом случае основной вклад в (2.247) дают первые интег-
х) Вот почему тела падают на Землю! Позднее этот вопрос будет рассмотрен
более детально. См. гл. III, § 9.
90
Гл. II. Мировая функция Q
ралы, и мы имеем
о
Аа44) = - ЗсГ8-<Т'1Х^)5(а44р) ^ (а - и)2 du = - S(a44p)X(P),
о
Аа44') =5(а44р)Х(Р), й(а4'4') = - 5(44аР)^<Р),
где S-члены вычислены в точке Р. Таким образом,
Л1 (а) = (S(tt44p) - S(44aP)) = #(а4р4)^<Р)
и уравнение геодезической (2.244) гласит
DzX(a)=-R(ai р4)Х(Р). (2.250)
Как и следовало ожидать, это согласуется с уравнением геодезического
отклонения (1.140).
(2.248)
(2.249)
§ 13. Мировая функция и ее производные для двух точек на временноподобной
кривой
Пусть С временноподобная кривая1) в пространстве - времени (фиг. 29). Эту
кривую можно определить, задав главный 4-репер (касательную и нормали) в
некоторой точке Q0(s = 0) и три кривизны как функции s. Эту же кривую
можно определить в окрестности точки Q0 и другим способом: задать
единичную касательную А' и абсолютные производные DA\ D2Al, .. в точке Q0
(здесь D = 6/6s). Мы примем последнее определение.
Пусть Q1(s = s1) и Q2(s = s2) -две точки на кривой С в окрестности Q0,
так что s1 и s2 малы (Ог). Мировая функция Q (QjQ2) зависит от sx и s2, и
ее можно разложить в двойной степенной ряд вида
^ (Q1Q2) - [А + S1 [АА] "Ь S2 [АЭД "Ь + -5-КВД + 2вА[Аад + ^[ОД}+ ...
(2.251)
где D1 - d/ds1, D2 - d/ds2, а квадратные скобки означают, что стоящие в
них величины берутся в точке Q0, где Sj = s0 = 0; фактически, это пределы
совпадения в том смысле, в каком они определены в § 2, и их можно
вычислить (после незначительных изменений с помощью (2.69). Имеем
Фиг. 29. Мировая функция й (Q1Q2) Для двух точек на временноподоб-
ной^кривон.
AQ = QilD1^il + A1;HiM;i,
D1D2Q = Qii;-HiMi2,
D\ Q = QhD\Ah + 3QilhDAhAh + ^ilh^AilAhAk\ D\D2 Q = QilkD1AilAh + Q
ilhHA^AhAk\
(2.252)
*) Хотя выдерживая стиль, мы придаем всему изложению чисто геометрический
характер, эта кривая С могла бы быть вашей или моей мировой линией -
мировой линией земного наблюдателя, движущегося с какой-нибудь точкой на
вращающейся Земле. Как мы увидим позднее, результаты проводимых здесь
вычислений имеют простую и весьма фундаментальную физическую
интерпретацию. См. гл. Ill, § 10.
§ 13. Производные для двух точек на временноподобной кривой
91
з также аналогичные уравнения, получающиеся из приведенных при
перестановке индексов 1 <--*¦ 2. Отсюда в силу (2.69)
[Q] =0,
[ОД = [ОД = 0,
[ОД = -1, [ОД?2] = 1, [ОД = -1,
[ОД = [Dp,Q] = [DpiQ] = [DlQ] =0. (2.253)
Из двух последних строчек в (2.252), используя после дифференцирования
(2.69), получаем
[ОД = [4 QhhD[№Ah + 3 [DID, Q] = [QilhDlAhAh + QhhkLm2AhAhAklAm*],
(2.254)
[DplQ] = [Qill2D1Ai'D2Ai> + 1A^1A 2A 2],
Завершая подстановку из (2.69), опустим числовые индексы у Л-членов; при
этом вследствие кососимметричности тензора Римана Q-члены с четырьмя
индексами обращаются в нуль. Кроме того,
Л4Л' = -1, AfiAl = 0,
AfEPA1 = - DApA{ =-Ь2,
где Ь - первая кривизна С. Следовательно, мы получим
[ОД = -Ь\ [D\D,Q\ = b\ [Dp\Q\=-b\
(2.255)
(2.256)
з также аналогичные уравнения, получающиеся из (2.256) при перестановке
индексов 1 и 2. После подстановки производных из формул ¦(2.253) и
(2.256) в (2.251) мы придем к следующему приближенному выражению для
мировой функции двух точек на С:
G(QiQ2)= + (2.257)
Заметим, что в этом приближении кривизна линии С присутствует, кривизна
же пространства - времени в выражение мировой функции не входит.
Если т -мера геодезической QXQ2 (изображенная на фиг. 29 в виде прямой
линии), то мы имеем
?2(QiQ2)= -|т2- (2.258)
и, следовательно,
т2 = (s2 - SJ2 + b2 (s2 - sj4 + 0%,
(2.259)
т = (s2 - sx) -f -24 b2 (s2 - Sj)3 + 04>
¦если s2 > sx. Это соотношение совпадает с евклидовой формулой для хорды
(т) окружности радиуса Ь1, связывающей хорду с дугой (s2 - sx);
возникающее здесь важное отличие состоит в смене знака, в результате чего
т > (s2 - sj.
Предположим вычисление ковариантных производных функции ?2(QiQ2), но
будем рассматривать лишь инвариантные компоненты
92
Гл. II. Мировая функция Q
в 3-репере Ферми Х\а). Эти компоненты имеют следующий вид:
