Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
[1230]; в определении последнего фигурирует параллельный перенос
изотропных векторов, а не ферми-перенос 3-репера.
6 Дж. Л. Синг
82
Гл. II. Мировая функция Q
с помощью соотношений
*(а) = Х(а)= -Q, (/>/>') *("1, X"'=-XU) = s,-
(2.189)
где s - мера отрезка Р0Р. Заметим, что, если в качестве определения
первых трех КФ использовать соотношение (2.185), то уравнения,
определяющие КФ и ОК, формально идентичны. Разница
состоит лишь в том,
что в КФ геодезическая РР' ортогональна базисной линии, тогда как п в
ОК -Эта геодезическая изотропна. Оба эти
факта можно выразить математически следующим образом:
?24 (РР') Л* = 0 для КФ, (2.190а) Q(PP') = 0 для ОК. (2.1906)
Таким образом, мировая функция играет важную роль, объединяя и
упрощая обращение
этими координатамих).
Для полноты сравнения ФК и ОК заметим, что (2.181) для ОК не выполняется,
так как мера РР' равна пулю. Однако если на изотропной геодезической РР'
взять канонический параметр и, пробегающий значения от ы = 0 в точке Р до
н = о в точке Р' (а - произвольное число), то (2.189) можно записать в
виде
Фиг. 26. Оптические координаты, отнесенные к временноподобной базисной
линии С.
(а)
= ак\а) (¦
dxl \ Ж)р *
(2.191)
Для ОК соотношение (2.186) оказывается неверным. Чтобы найти
соответствующее соотношение для ОК, заметим, что
')2,
(2.192)
(2.193)
^а^(а) = - 44)4) - б{ +
и, следовательно,
X(a)X(a) = Q^iajCM06 > = QjQ1 (6! + А^) = (ЙИ'
поскольку [см. (1.20)] ?^й* = 2?2 = 0.
В плоском пространстве - времени величины Х^а) и для КФ, и для ОК имеют
простой смысл -это пространственные декартовы координаты точки Р'
относительно осей, движущихся так, что начало координат находится в точке
Р, а ось х4 касательна к кривой С.
§ 11. Метрики для координат Ферми и оптических координат
Чтобы исследовать метрики для координат Ферми (КФ) и для оптических
координат (ОК), будем исходить из самой общей ситуации, изображенной
графически на фиг. 27. Мы имеем временноподобную кривую Сг и другую
кривую С2 (не обязательно временноподобную). Эти кривые соединены оо1
геодезических, на каждой из которых определен канони-
х) Хотя для КФ и ОК мы употребляем название координаты, следует, однако,
помнить, что на самом деле они представляют собой инварианты и что всегда
где-то в основе скрыто присутствие системы координат общего вида;
используя эти координаты, мы избегаем появления несимметричных выражений,
подобных (2.188).
§ 11. Метрики для координат Ферми и оптических координат
83
ческий параметр и, принимающий значения от и = иг на Сг цо и = и2 на С2.
"Занумеруем" эти геодезические с помощью параметра v, равного мере s
кривой С1У откладываемой от некоторой точки Р0 на этой кривой. Тогда мы
получим двумерное пространство*' = *' (и, v), с, и, как обычно, запишем
дх*
?/* = V' =
ди
дх1
до
Для частной производной мировой функции ^(РгР2) относительно точки Рг
имеем
Д (2.194)
k 1 - и2 - и1,
а дифференцирование по] v дает
QimV'1 + =-Wilt Wit= k'A.
(2,195)
Фиг. 27. Определение метрики для координат Ферми и оптических координат.
Поэтому для пространства - времени малой кривизны (порядка 0г) получим
^*151 - Silii + h-hh'
(2.196)
- -giih
452'
где gij2 - оператор параллельного переноса, а Л-члены представляют собой
малые интегральные члены, задаваемые формулами (2.95). Следовательно,
giihVh = Wh + Vtl + hilhvh + hlvtVj\ (2.197)
Слева стоит выражение, представляющее собой результат сдвига V** из точки
Р2 в точку Рг посредством параллельного переноса, при котором абсолютная
величина вектора не меняется. Следовательно, если для краткости положить
W1 + У* = 2*, (2.198)
то, поскольку /i-члены имеют порядок 0г, мы получим
Vi2Vi2 = Z^1 + 2Z'1 (hilhVh + hilhVh) + 02. (2.199)
В силу (2.197)
Vh = ghMzkl + 01 (2.200)
и, следовательно, (2.199) можно записать в виде
V12Vi2 = Z^Z*1 + 2ZhhilhVh + 2Zllhilkg^Zhl + 02. (2.201)
Все векторы, входящие в правую часть (2.201), берутся теперь в точке Рг.
Если геодезические РЛР2 й QXQ2 (см. фиг. 27) соответствуют значениям
параметра v и u-i-du(T. е. s и s + ds), то
Vi2Vi2 ds2 = P2Q2 = 2Q (P2Q2) = eds2,
(2.202)
6"
84
Гл. II. Мировая функция ?3
где ds2 -мера P2Q2, а е -индикатор Р2Q2. Таким образом, для нахождения
метрической формы в точке Р2 в предположении, что Z* и У1 на кривой Сг
известны, нужно просто умножить (2.201) на ds2. Фактически мы знаем, что
на Сг Vl = Al представляет собой единичный вектор, касательный к кривой
С4; с другой стороны, вектор Z* зависит от выбора кривой С2.
Как в КФ, так и в ОК, мы имеем ОР Ца), претерпевающий перенос Ф -У вдоль
базисной линии (кривая на фиг. 27). Кроме того, Я(4) = Л{. Определим ОР в
двумерном пространстве геодезических, изображенных на фиг. 27, с помощью
параллельного переноса вдоль этих геодезических, и выразим (2.201) через
инвариантные компоненты в этом ОР. Можно, не опасаясь недоразумений,
опустить вторичный числовой индекс у векторов в правой части (2.201) (все
они берутся в точке Р1), однако для Л-членов эти индексы необходимо
