Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
о
где индекс 0 означает, что соответствующая величина взята в точке о = 0.
С помощью пределов совпадения (2.69) и соотношений (2.121) - (2.123)
имеем
йо = 0, (ОДо = 0, (ОДо-0, (2.126)
а из (2.17) следует, что
o2(D2Q)0 = P0P1 + P0P2-2PeP1.P0P2, (2.127)
где введены следующие обозначения:
РоР, = 20 (РоР,), Р"Р2 = 2Q (Р0Р2), (2.128)
ЛЛ'ЛЛ = Ц,(ЛЛ) Й'ЧЛЛ).
Такие обозначения весьма удобны. Однако использовать их нужно с
'некоторой осторожностью, так как й может быть отрицательной. Если бы мы
решали задачу в пространстве с положительно определенной
метрикой, то PqPx представляло бы собой квадрат расстояния по геоде-
- > ^
зической между точками Р0 и Plt a P0Pi 'Ро^г - произведение расстояний
Р0Р1 и Р0Р2, умноженное на косинус угла между направлениями этих двух
отрезков.
§ 6. Решение конечных геодезических треугольников
71
С помощью введенных обозначений разложение (2.125) можно переписать в
виде
^ = + + (2.129)
где
V
ф = i J (У _ v)3DtQ dv. (2.130)
о
Член ф, представляющий собой трехточечный инвариант, играет весьма
существенную роль в теории гравитации, так как он описывает отклонение
пространства -времени от плоского. Если ф = 0, то формула (2.129)
переходит в элементарную тригонометрическую формулу для пространства Мин
ковского
с2 = ср + № - 2ab cos С. (2.131)
Для вычисления ф введем 0РХ,(О), произвольным образом выбранный в точке
Р0, и параллельно переносимый в пространстве - времени вдоль всех
геодезических, проходящих через точку Р0. Переходя к компонентам вдоль
этого ОР, мы можем записать (2.124) в виде
D* Й = Q(alblc1dl) V(ai) V(bl) V(C1) + V(dl) +
+ 4Q(aiblClda)V(ai)V(bl>V(Cl>V(d2) + .. ., (2.132)
где
Q = Q(Q1Q2), (2.133)
а векторы V постоянны. Вправе ли мы подставить сюда в качестве й-членов
значения, полученные в (2.177)? Не совсем точно, так как, применяя
формулы (2.177), следует брать ОР с параллельным переносом вдоль Q1Q2
(см. фиг. 18), а не вдоль геодезических, исходящих из Р0. Но легко
убедиться, что с точностью до принятого приближения Й-члены, определенные
формулами (2.117), можно подставлять в (2.132), поскольку вносимая при
этом погрешность имеет порядок малости 02.
В результате такой подстановки, вследствие свойств кососимметричности
тензора Римана, входящего в S-члены, ряд членов исчезает. Действительно,
после свертки по любым трем из четырех впереди стоящих индексов с
компонентами V(ai) или V("2) все S-члены обращаются в нуль. Так,
например,
S("bc*oV(ei)V(bl)V(Cl) = 0. (2.134)
Чтобы представить окончательный результат в простом виде, будем
пользоваться обозначениями, смысл которых вполне ясен из следующих
примеров1):
[1122] = S(abcd)V(ai)V(bl>V(Cl>V(d2> = [2211], (2.135)
[1121/2] = S(ebcad)Vr(ai)V(bl)V(Cl) и (q)V(d2>.
Результат можно сформулировать следующим образом: для любого
геодезического треугольника (см. фиг. 18) в пространстве - времени с
малой
х) Эти величины берутся в произвольной точке Q (и, v) на QiQt, причем S и
U вычисляются в точке Q, а векторы V-в точках и Qt.
72
Гл. II. Мировая функция ?2
кривизной (С?!) мы имеем формулу (2.129), где ср определяется
соотношением
ф = фо + Ф1 + Фг + Оа,
¦о ua
Ф0 = 3&3 ^ ^ (у - у)3{(ы2 - ы)2 + (и - иг)2} [1122] dudv,
О Ui V Ug
ф1 = 2&35 ^ (у-у)3{2(ы2-ы)3[112Ш] +
О Uj
+ 3 (и, - иУ {u-u1)[\\2U2]-b (и, -и) (и- иг)2 [22U1 ] -
-2(u-u1)3[22lU2]}dudv, (2.136)
V U2
ф2=1&3 J $ (y-y)3{("a-")4[iii;t/ii]+
О ui
+ 4(u2-u)3(u - Uj) [\\UU\2\ + + 3 (и2 - ы)2 (и - г^)2 ([ 1IUU22] +
[22UU11] + + 4 (и, - и) (и - иг)3 [22Ш21] +
+ (и - их)* [22UU22]} du dv,
&-1 = U2 - Uj.
Три части, из которых состоит ф-член, включают сам тензор Римана и его
первые и вторые ковариантные производные соответственно.
Мы вернемся к формулам (2.136) после введения квазидекартовых координат
(см. § 8).
§ 7. Решение бесконечно малых геодезических треугольников
В предыдущем параграфе мы имели дело с конечным геодезическим
треугольником в пространстве - времени малой кривизны. Рассмотрим теперь
бесконечно малый геодезический треугольник, не делая никаких
предположений относительно кривизны пространства- времени. Последняя
может быть конечной.
Пусть Р0 (фиг. 19) - произвольная точка в пространстве -времени, а Гх и
Г2 - две произвольные геодезические, выходящие из Р0. Пусть у -
канонический параметр на Гх и Г2, такой, что у = 0 в точке Р0, а Рг и Я2
-некоторые точки на 1\ и Г2 соответственно, причем в каждой из этих точек
значение у одно и то !же. Тогда мировая функция Q(PXP2) зависит только от
у. Разложим ее в ряд1)
a (PjPj = а (у) = п0+у (DvQ)0+
+1 у2 (ОД0 + i у3 (ОДо + -L v* (ОД) 4- 06, (2.137)
где индекс 0 означает, что соответствующие величины берутся в точке у =
0, а Оь указывает, что порядок малости невыписанных в явном виде
*) Если бы мы стремились к более высокой математической точности, то
следовало бы подставить вместо 05 интегральный остаточный член [как,
например, в (2.125)]. Но здесь мы следуем другому методу приближения,
основанному не на малости тензора Римана, а на малости v.
