Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
* = -^-= г
f <5Я J
г о
которое при помощи равенств (К2), (79) и (80) может быть выражено в виде
t =
_ (U2)
Шесть уравнений (R2) дают шесть промежуточных интегралов, а шесть
уравнений (S2) дают шесть конечных интегралов шести известных
дифференциальных уравнений движения для любой бинарной системы, если мы
исключим или определим три вспомогательные величины h, Н" Н" при помощи
трех условий (I2), (Т2), (U2). Таким образом, если мы заметим, что
расстояния г, г0 и заключенный между ними угол # зависят только от
относительных координат, которые могут быть обозначены
f > Уг - У2 = V , h - z2 = С ,
а2 - a, bj.
Р,
У,
(82)
то мы, выполнив простые вычисления, легко получим три промежуточных
интеграла для центра тяжести системы:
x'"t = x" - a", у'" t = у" - b", z'"t=z" - c" и три конечных интеграла
a'"t = x" - a", b'" t = у" - b", c'"t = z" - c",
(83)
(84)
выражающих хорошо известный закон прямолинейного и равномерного движения
этого центра. Мы получаем также три промежуточных интеграла для
относительного движения одной точки системы вокруг другой:
, дг . ,
Ч =Р-хг+Л
д& dt]
f' = p
dt]
dr . d# ~d?~ + h~df
(85)
ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
205
и три конечных интеграла
дг0
= Ро да
дг0 <5#
= Ро W п <5/3 '
дг0
= Ро ду <5у '
(86)
в которых вспомогательные величины Л, Н, определяются посредством
равенств (I2), (Т2) и в которых зависимость величин г, г0, # от I, у, С,
а, р, у выражается уравнениями
Г = УС2 + у2 + С2 , Г" = fa2 + /?2 + у2 , ГГ" cos # = fa + уР + Су.
Теперь, если мы для краткости напишем
Р I ^ и Д Ро
в =
+
h
г 51
г2 tg Ь ' гг0 sin 1
то получим три промежуточных интеграла
Р = AS-Ва, у' = Ау-Вр, С = AC - By и три конечных интеграла
а' = ВС-Са, р = Ву-СР, у'= ВС-Су уравнений относительного движения. Эти
интегралы дают
in' - уС = аР' - Ра> - В {щ - PC), уС - Су' = ру' - ур' = В(рС-уу),
С С - СС = уа' - ау' = В (уС - аС)
С (ар - fia') + с фу' - ур) + У (уа' - ау') = 0;
(87)
(88)
(89)
(90)
(91)
(92)
они содержат, следовательно, известный закон равных площадей и закон
плоскости относительной орбиты. Если ради упрощения мы возьмем эту
плоскость вместо плоскости Су, то величины С, С у, у' исчезнут, и мы
сможем написать
C = rcos б, 1? = г sir. 0, С = 0, а = r0cosб0> P - r0sineo, у- 0 (93)
и
р = f cos б - б' г sin б , у' = т' sin б - 6' г cos б, С' - О,
a' = r'cos60 -в^г0Сщв0, р = Го sin 0О + в'0 r0 cos б0, / = 0.
(94)
При этом углы в, б0 отсчитываются от какой-либо неподвижной линии в
плоскости, причем они таковы, что их разность
в - б0 = #. (95)
Эти значения дают
f- уС = г2(c)', ар - ра ' = г2Л , Щ-р? = rr0 sin 0 (96)
206
У. ГАМИЛЬТОН
и, следовательно, при помощи равенств (88) и (91) получаем
r*& = r% Q'0^h. (97)
Отсюда величина у л представляет собой постоянную секториальную скорость
в относительном движении системы, причем, как легко заметить, этот
результат не зависит от направлений трех прямоугольных координат.
Величины (93), (94) дают также
fcos0 +"7Sin0 = r, f'cosfl +rj'sind -f, a cos 0 + /9 sin 0=/-ocos#,l
acos0o-|-/5sin0o = /-o, a' cos 0O + Z5' sin 0O = r'0, f cos 0O + "?sin0o
= /-cos#j
и, следовательно, посредством промежуточных и конечных интегралов (89),
(90) получим
г' = Р, г'0 = р0. (99)
Эти результаты, очевидно, согласуются с условием (Т2) и посредством
равенств (79) и (81) дают для всех направлений координат :
г'2 + - 2 (mi + т2) f (г) =
= /-'о2 + ^ - 2 (mx + т2) / (г0) = 2 Н, (JL + JL) . (100)
Поэтому другая вспомогательная величина Н, также является
постоянной, не зависящей от времени, и входит как таковая в
постоянную часть
выражения (r'0z + квадрата относительной скорости. Уравнение условий
(I2), связывающее эти две постоянные h, Н, с пределами длин радиуса-
вектора гис углом &, описываемым этим радиусом при вращении от его
начального до конечного направления, представляет собой уравнение
плоскости относительной орбиты, а другое уравнение условия (Т2),
связывающее эти две постоянные с теми же крайними расстояниями и с
временем, дает закон скорости взаимного сближения или удаления.
Следует отметить, что часть V, полной характеристической функции V,
которая представляет относительное действие и определяет относительное
движение в системе, а именно:
у, = ¦ т1Щ
щ + /л2
при помощи равенства (I2) может быть написана в виде
(V2)
(W2)
Го
или окончательно при помощи равенства (79) - в виде
у, = 2/ dr ; (X2)
Го
само условие (I2) также при помощи равенства (79) может быть
преобразовано следующим образом :
Г
Г dr fV2\
ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
207
Все эти результаты легкого поддаются проверке. Уравнения в частных
производных, связанные с законом относительной живой силы, которым должна
удовлетворять характеристическая функция V, относительного движения,
могут быть написаны в следующем виде :
(Z2>
и если вариация первых уравнений из этой пары берется по отношению к г и
ft, причем следует обратить внимание на динамические значения производных
