Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
известных дифференциальных уравнений, разложив выражения (С2) на
следующие отдельные группы (включенные в (С) и (D)) :
- т, х,,
ёу
дх,
6V________
ёх, - тгх2>
SV
ду,
дУ
6Уг
т, х,
= т2х2,
ду
dz,
ёу dz-
т, х',, т2 х'г
(D2)
дУ
дах
ёУ
= -т, а,,
ду
да,
-т., а.
дЬ,
дУ
дЬ,
-т,ь:,
ду
дс,
ёу
-т, с',
= -mabt, -fc - = -тгс'г
(Е2)
и на следующее, уже встречавшееся ранее, уравнение
ду
ён
В этом новом методе трудность интегрирования шести известных уравнений
движения второго порядка (74) сводится к отысканию и дифференцированию
единственной функции V ; для того чтобы найти форму этой функции, мы
должны применить следующие два уравнения в частных производных первого
порядка :
¦ЖГ+Ш'+(ж-Л+-4Ш!+(жГ+(жЛ -
= m1mif(r) + H,
(F2)
1
2т
Ш'+Ш'+(жЛ+
|| 'п' Г + I •н' |
2т2 (( доъ )
= m1m2f(r0) + H, (G2)
совместно с некоторыми простыми соображениями. Из изложенных выше
принципов легко вытекает, что интеграл этих двух уравнений в данном
случае имеет вид:
V = ][(х" - а,,)2 + (у" - Ь"У + (z" - c"f |/2 Н" (тх - т2) +
+
т1 т2
тЛ
(h # + j р dr), (Н2)
в котором х," у", z," а," Ь," с" обозначают конечные и начальные
координаты
центра тяжести системы:
щ *i + щ х2
х" =
а" ¦¦
тх + тг т1ах+тгаг
т.
т.
у"-Ь" -
miy\ тх ¦
тх Ьх -тх -
т2у2
т2
т,
z" =
с" =
mlzl-ym2z2 тх + тг
ЩСх
т1
¦ т2с2
¦ т.
(78)
202
У. ГАМИЛЬТОН
а & - угол между конечными и начальными расстояниями г, г0. Мы также
написали для краткости
Р = ± ]/2 {Щ + т2) (/ (г) + - , (79)
где применение верхнего или нижнего знака зависит от того,
увеличивается
или уменьшается расстояние г; мы ввели три вспомогательные величины
h, Н,, Н", определяемые условием
Г
0 = ^+1ж<*г' ^
'о
в сочетании с двумя следующими :
тх тг
тл
т,
г ___________________________________________
^ J Ж dr = f- а")2 + (У" ~ й")2 + (Z// -с")2 f''
н, + н" = н.
2 Н"
(К2)
Эти вспомогательные величины, хотя и являются функциями двенадцати
крайних координат, все же могут рассматриваться как постоянные при
вычислении трех определенных интегралов или пределов сумм многочисленных
малых элементов
Г
б р
Форма (H2) для характеристической функции бинарной системы может
рассматриваться как главное или радикальное соотношение, которое включает
всю теорию движения такой системы и все детали этого движения могут быть
выведены из него при помощи нашего метода. Однако ввиду того, что теория
бинарных систем трудами более ранних авторов доведена до большого
совершенства, нам достаточно будет здесь дать вкратце несколько примеров
такого вывода.
14. Форма (Н2) характеристической функции бинарной системы определенно
включает, когда р заменяется своим значением (79), двенадцать величин х",
у", z," а", Ь", с," г, r0, #, h, Н,, Н" (кроме масс mv m2, которые всегда
считаются данными); поэтому ее вариация может быть выражена следующим
образом:
Ai/ ^ s , iV . , "V . , dV , , SV , dV ,
Sx" + fly,, дУ" + a"+ flb7 b" + ~flc7 c"+
I dV Л I dV я , ^ so , SV ,, , SV vjr , dV
flr Sr0~ dr° + AO + Ah AH, 8H" "' ^ ^
Если в этом выражении положить для краткости
ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
203
то мы получим 8V
8х" ^ '
- = А (а, - х"),
8V
8V 8а,,
8у"
8V
8Ь"
= А (у, - Ь"), = А (й" - у"),
8V
8z,
8V
= A(Z" - С"),
A(с" zff),
а если положить
Ро - ± ]/з (/П! + т2) (/ (/-о) + -^) - ~ ,
(М2)
(81)
то, так как знак радикала определяется тем же правилом, что и в случае р,
мы получим
8V
-тх т2 г0
8V
тх-{- m2h тх -|- Ш2
8r тх + т2 ' 8г0 тх + т2 ' 8&
Кроме того, согласно уравнениям условий (I2), (К2) мы имеем
0
8V
8/г
8V
8Н"
8V
8Н,
7-J
dr
р
дН, + дН, = дН .
т
(О2)
(Р2)
Поэтому выражение (L2) может быть преобразовано следующим образом: 6V =
1{(х" - а") (дх, - да,) + (у, - Ь") (ду, - дЬ") +
+ (z" - с,) (dz, - дс,)} +
mtm2
тг + т2
(Рдг - р0дг0 + hd&) +
+ \^удН, (Q2)
и при помощи нашего общего метода может быть разложено на двенадцать
отдельных выражений для конечных и начальных компонентов скоростей, а
именно :
*1 =
У1 = 4 = 4 = У2 = 4 =
1 8V Я
щ дхх тх + т2
1 8V Я
щ 8Уг ~ тх + т2
1 8V Я
щ дЧ Щ + т2
1 8V Я
т2 8х2 тх -f- ги2
1 8V Я
т2 дУъ т1+т2
1 8V Я
/72j -{- т2
(X, -а,) + т2 ( &&'
тх + т2 { 8хх,
(У" - Ь") + т2 ( 8& '
Щ + т2 { дУг,
(г. - с") + т2 1 8&'
т1 + т2 {
(х, - а,) + тх 1 рж+к 8&'
тх -|- т2 1 8х2,
(У" -Ь") + тг ( рж + н 8&'
т1 + т2 ( ду2,
(Z, с,) + тг ( рж^ 8& '
mi + т2 1 дг2,
(R2)
204
У. ГАМИЛЬТОН
*; =
а, =
ь:
-1 dv X (x" - a,) + m2
mt dax m1+ m% mx 4- Щ
-1 dV X (:у. -b") + m2
m1 dbt m1 + m2 m1 4- m2
-1 dV X (z" - c") + Щ
m1 dct mt + m% m1 + m2
-1 dV X (x" - a") + mt
Щ da2 ~~ m1 + m2 mt + m2
-1 dv X iVn -b") + mt
m2db2 Щ + Щ mt 4- m2
-1 dV X (z" - c") + mt
m2 dc2 m1 4- m2 m1 + m%
(Ро
(ро
(ро
(ро
дг0
да.
*Г,
дЬ
дг,
дс.
дго
да2
дга
• _й
i да1)
1 SbJ
¦) )
- It- _ h _ да, да.
(Ро db] k db2
( дг" , д&
1Р0 дс2 h дс2
(S2)
dr
Р
(Х2)
и на следующее выражение для времени движения системы:
