Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
6 • Фк (^1 " ^2 > * • *) ^3п + к) •
(39)
Для этого мы должны прибавить вариации функций срь ..., грк, Фъ ..Фк,
соответственно помноженные на подлежащие определению множители , Лк.
Таким образом, закон переменного действия прини-
, Як) ylj,
мает следующий новый вид :
tv = 2{^)dv-2{-w-)de + tdH + 2*д<р + 2ЛбФ (в1)
192
У. ГАМИЛЬТОН
и распадается на бп + 2к + 1 отдельных выражений для частных производных
первого порядка характеристической функции V:
sv
6V
дг\г
S(p2 I
р- + я.
+
8(рк 6г] 1
Й"?2 '
<5"?ЗЛ+А
<5^
" ЫЕг) + '
6?!
' дЩп+к
+ ... -И,
* дЩп+к'
-Ш+А^+^+
? =-(r) + ^ + л^ +
+ л*тгг + л>ж
6V
Ь&) + л.
де;
'зп+к
6Ф1
двзп+к
+ ••• + А:
дФк
двзп+к
(С1)
(D1)
и старое уравнение (Е). Аналогичное введение множителей в канонических
формах Лагранжа для дифференциальных уравнений движения второго
порядка, посредством которых сумма вида ^ I ~ складывается с ~ во
ди
дт]
дт]
втором члене формулы (Y), также легко оправдывается, исходя из принципов
данной работы.
Отделение относительного движения системы от движения ее центра тяжести;
характеристическая функция такого относительного движения
и закон ее вариации
10. В качестве примера предыдущих преобразований и в то же время в
качестве важного случая их применения мы введем теперь относительные
координаты х, у, z, отнесенные к внутреннему началу х," у", z", т. е.
положим:
Х{ - X,j -f- Х", у, = у,,- -j- у" , 2,- = Z,j -f- z" (40)
и аналогичным образом
я, = Я/, + я", bi = b,i -j- b", С{ = с,i -f- c", (41)
совместно с дифференциальными выражениями
х\ = x'i + x'", y\ = y',1 + y'", г-= z'i + z'" (42)
и
a'i - a''i + a'r> > b'i = Ь'/i + Ь'" , c\ - с', I -f- c'".
(43)
Введя выражения (42) для прямоугольных компонентов скорости в равенство
(4), мы найдем, что значение живой силы 2Т распадается на три следующие
части:
2Т = V m (Х'2 + у'2 + 2'2) = V щ (х>2 + у'2 + 2;3) +
+ 2(х'" v mx'r + у" 2' my', + z'" 2 mz',) + (х'"2 + У"2 + г',?) 2 т,
(44)
ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
193
и тогда, установив, как мы вправе сделать, три уравнения условий
2 тх = 0 , 2 ту = 0, 2J mz = 0, (45)
которые посредством равенств (40) дают
2 тх 2 mv JT mz ,.Сч
Х"=^Г' У" = ^Г' Z" = ~2W' (4б)
где х", у", z" являются координатами точки, называемой центром тяжести
системы, можем свести функцию 7 к форме
7=7, + 7", (47)
в которой
7, ={2m(x!2 + y;4z!2) (48)
и
т" = ~ {х? + у;,2 + х7) Уm. (49)
Посредством этого известного разложения полная живая сила 27 системы
распадается на две части 27, и 27," первая из которых, 27,, может быть
названа относительной живой силой, так как она получается исключительно
из относительных скоростей точек системы в их движениях вокруг общего
центра тяжести х", у", z," в то время как вторая часть, 27", получается
только из абсолютного движения этого центра тяжести в пространстве и
будет такой, как если бы все массы системы были объединены в этом общем
центре. В то же время закон живой силы 7 = U + Н (6) с помощью закона
движения центра тяжести распадается на два следующих отдельных уравнения
:
Т, = и + Н, (501
7" = Н", (51)
причем Н, и Н" представляют собой две новые постоянные, независимые от
времени t, и притом такие, что
Н, + Н" = Н. (52)
Подобным же образом мы можем разложить действие или накопленную
живую силу V, которая равна определенному интегралу J 2Tdt, на две
следующие аналогичные части : 0
V=V, + V", (Е1)
определяемые двумя уравнениями :
V, = J 27, dt (F1)
О
t
V" = $2T"dt. (G1)
О
Последнее уравнение при помощи равенства (51) приводится к виду
V"=2H"t, (53)
13 Вариационные принципы механики
194
У. ГАМИЛЬТОН
т. е. результат, который согласно закону движения центра тяжести может
быть выражен таким образом [77] :
V,, = У(х, - а,,)2 + (у" - Ь"у + (х" - с,,)2 • ]f 2 Н" 2' т , (Н1)
ТЯЖ1
(54)
где а", Ь," с" представляют собой начальные координаты центра тяжести,
так что
а" ¦¦
Ь" =
2 mb
Г// -
2 т
2т' " 2т
Для вариации 6V полной функции V получим
6V = 2 т (х', дх, - й! да, + у', ду, - b', db, + z', dz, - с', дс,) +
+ (х'" дх" - а'" да,, + у'" ду" - b'" db" + z'" dz" - с'" дс,) 2'(r) +
+ t дН + Ai 2 т &*, + К 2 т &У> + К 21 т &z> + 2'т да, +
+ Л-2 2' т db, + Л3 2" т дс,. (I1)
В то время как вариация части V,,, определяемой уравнением (Н1), как
легко можно показать, имеет вид:
дV" = (х'"дх"-а'"да" + у' dy"-b'"db" + z'"dz"-c'"dc") 2 m + t6Н", (К1)
вариация части V, может быть выражена таким образом : д V, = 2 т (*' $х'
- а'> + У' &У> ~ V db, + z', dz, - с', дс,) +
+ t дН, + 2 т $х' + К 2J т $У' + К 2 т dz, + Лх 2 т да, +
+ Л22^бб, + Л32тдс,. (L1)
Она распадается на следующие отдельные выражения, в которых часть V,
рассматривается как функция бп + 1 величин х-ь y-it z-" а,и b,h cU) Н>.
Однако только бп - 5 из них действительно являются независимыми. Таким
образом, имеем первую группу:
ЬУ,
Ьх,г
ЬУ, by, г
= 7П1Х',1 + Д17П1, = ТП1 у, J + Д2 ^1 г
ЬУ,
Ьх,п
ЬУ,
Ьу,п
тпх',п +Л1тп;
= тпу',п + Л2т";
ЬУ' / , 1
-7^- = ГП1г,1 + Лат1,
