Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 101

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 95 96 97 98 99 100 < 101 > 102 103 104 105 106 107 .. 461 >> Следующая

движения, распространяются также на гиперболическое движение и в любой
бинарной системе, подчиняющейся ньютоновым законам притяжения. Упрощенная
характеристическая функция может быть выражена определенным интегралом
w =
где функция w по-прежнему связана с относительным действием V,
посредством уравнения (Н3), тогда как время t, которое при помощи закона
переменного действия всегда может быть выведено из этой функции,
представлено следующим связанным с ним интегралом :
-НЬТТ --&TV (Х'>
при условии, что в пределах интегрирования радикал не исчезает и не
становится бесконечным. В том случае, когда это условие не соблюдено, мы
все . же можем выразить упрощенную характеристическую функцию w и время t
при помощи следующих аналогичных интегралов :
w = dTl' (Y3>
t= J da,, (Z3)
X,
в которых мы можем для краткости положить
o, = Z+l.t (П9)
и в которых легко определить знаки радикалов. Однако, если мы в настоящий
момент попытаемся полностью осуществить эти преобразования, это заведет
нас слишком далеко ; сейчас пора заняться рассмотрением свойств систем,
состоящих более чем из двух точек.
О системах из трех точек вообще и об их характеристических функциях
17. Для любой системы из трех точек известные дифференциальные
уравнения движения вто рого порядка охватываются следующей формулой :
т1 (х'1 дх1 + у'[ бу1 + z" дгг) + т2 (х2 <5х2 + у2 Ьуг + z"z &2) +
+ Щ (*з + Уз^Уз "Ь 2з ^з) = &U > (120)
ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
213
причем известная силовая функция U принимает форму
U = т1 т2 /(1'2) + т1 т3 /<х'3> + тг ш3 /<2-3), (121)
где pxa)t ft2,3) соответственно представляют собой функции трех следующих
взаимных расстояний точек системы :
г(1'2) = У(хг - х2)2 + (ух - у2)2 + (zx - z2)2 . '
гц,3)= + (ух - уз)3 + (Zl - z3)2 , (122)
Г{2'а) = У(х2 - х3)2 + (у, - у3)2 + (Zj - z3)2 . .
Следовательно, известные дифференциальные уравнения движения отдельно для
точки т1 имеют вид :
X, = т"
п
т"
тч
(5/0.2) (5хх + Ш3 (5/0.3) ёх1
(5/(1.2) ёуг + т3 (5/0.з) dyi
(5/0.2) + т3 Л/О.*) (5гх
(123)
для точек т2 и ш3 имеем шесть аналогичных уравнений. Здесь хх и т. д.
обозначают компоненты ускорения точек ть т2, та или вторые производные их
координат, взятые по времени. Проинтегрировать эти уравнения - значит
найти с их помощью девять соотношений между временем /, тремя массами тх,
ш2, ш3, девятью переменными координатами хх, ух, zv х2, у2, z2, х3, у3,
z3 и их девятью начальными значениями и девятью начальными мерами их
приращений, которые можно обозначить как ах, Ь1г сх, а2, Ь2, с2, а3, Ь3,
с3, ах, 6' сх, с", Ь'о, с',, а' Ь'", с' Известный промежуточный интеграл,
включающий закон живой силы, а именно:
у шх.(х;2 + у;2 + z'2) + у ш2 (X'2 + у'2 + Z'2) + у ш3 (X'2 + у'2 + Z'2)
=
= т1 т2 /(1'2> + шх ш3 /(1'3> + т2т3 /<2'3) + Я, (124) дает следующее
начальное соотношение :
у mi (й^2 + Ь'2 + с{2) + у т2 (а'2 + Ь'2 + с'2) + у т3 (а32 + Ь'3 + с'2)
=
= шх т2 /<х'2> + шх т3 Д1-3) + т2 т3 /<,2'3> + Я, (125)
в котором /0(1,2), Д1,3), /(2,з) конструируются из начальных координат
точно так же, как /(1>2), /(1,3), /<2,3) из конечных координат. Теперь,
если бы мы знали девять конечных интегралов уравнений движения этой
тройной системы и сочетали их с начальной формой (125) закона живой силы,
то мы имели бы десять соотношений для определения десяти величин /, а[,
Ь[, сх, а2, Ь2, с2, й3, Ь3, с3, т. е. времени и девяти начальных
компонентов скоростей трех точек как функций девяти конечных и девяти
начальных координат, а также величины Я, включая также и массы. Мы могли
бы таким образом определить все, что зависит от способа и времени
движения системы из ее начального в конечное положение, в качестве
функции тех же граничных
214
У. ГАМИЛЬТОН
координат и Я. В частности, мы могли бы определить действие V или
накопленную живую силу системы, а именно:
У - mi J (*i2 + У\ + zi2) dt + т2 J (х22 + У22 + z22) dt + j" (x'2 +
у'2 + 42) dt,
о u о
(A4)
как функцию этих девятнадцати величин хг, yv zv х2, у2, z2, х3, у3, г3,
а1; Ьъ съ а2, Ь2, с2, о3, Ь3, с3, Я и могли бы вычислить вариацию этой
функции
iV- 8V <5хх &сх + 8V dyl ЧУхН SV dzx + SV Sat da1
+ SV dbi dbt + SV Sct dCl +
+ 8V i<5x2 дх2 + SV ЙУ2 ^УаЧ SV дг2 6z2 + 8V даг
da2 + • SV 8b 2 db2 + • 5V dc3 6c2 +
+ <5 V <5*з <5х3 + dv <5у3 6V Sz3 dz3 + SV
Sa3 da3 + ¦ SV Sb3 db3 + ¦ SV Sc3 8c3
(В4)
Однако закон переменного действия предварительно дает для этой вариации
выражение
<5 V = т1 (х; дхг - а[ да± + ух <5ух - Ь{ дЬг + z'x - с'г bcj +
+ т2 (х2 дх2 - а2 Ьа2 + у2 ду2 - Ъ'2 db2 + z2 dz2 - с2 bc2) +
+ Щ (х3 ёхй - а'3 Ьа3 + у3 <5у3 - b'3 6b3 + z3 6za - с3 bc3) + t дН
(С4)
и, следовательно, показывает, что отыскание всех промежуточных и конечных
интегральных уравнений движения системы может быть сведено к отысканию и
дифференцированию этой одной характеристической функции V, потому что
если бы мы знали эту одну функцию, то имели бы девять промежуточных
интегралов известных дифференциальных уравнений в виде
Предыдущая << 1 .. 95 96 97 98 99 100 < 101 > 102 103 104 105 106 107 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed