Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
центру тяжести, уравнениями
Для всех таких преобразований 6 V, легко установить правило или закон,
который можно назвать законом относительного переменного действия (в
точности аналогично правилу (В1)), а именно:
Это означает, что мы выразим половину Т, относительной живой силы системы
как функцию скоростей щ' любых отметок относительного положения и затем,
взяв вариацию Т относительно rf, заменим эти вариации вариациями самих
отметок положения; вычтем начальное значение результата из конечного и
сложим вариации конечной и начальной функций у, и Ф,, которые входят в
уравнения условий <р, = О, Ф, = 0 (соединяющие конечные и начальные
отметки относительного положения), соответственно помноженные на
неопределенные множители А,, Л,; наконец, приравняем полный результат
величине SV,-t дН,, где Н, является независимой от времени величиной в
уравнении (50) относительной живой силы, а V, является относительным
действием, вариацию которого мы хотим найти. Нет необходимости
останавливаться здесь на демонстрации этого нового правила (V1), которое
легко можно вывести либо на основе уже изложенных принципов, либо исходя
из закона живой силы, при помощи вариационного исчисления в сочетании с
дифференциальными уравнениями второго порядка относительного движения.
Для того чтобы представить пример его применения, вернемся к уже
упоминавшейся задаче, заключающейся в том, чтобы изобразить bV,
посредством бп - 5 независимых вариаций Sf,, дпгр, б?,, Sa,, S/3,, бу,-,
б#,. Для этой цели мы используем известную преобразованую форму живой
силы 2Т,, помноженную на сумму масс системы, а именно :
причем знак суммирования 2 во втором члене распространяется на все
попарные сочетания точек, которые могут быть образованы без повторения.
Это преобразование посредством (66) дает
f, = х,- - хп, ч/ = У, ~ Уп , ?/ = г,- - z" ,
я,• = йг- ап, Pi bj bn , у{ = Cj cn
(66)
W, = 2 (-?f) 4 - 2 (^f) *e, +tdH, + 2 A, bp, + 2Л, 6Ф,. (V1)
27\ Vm = vmimk{(x' - x'k)2 + (y' - y'kf + (z't - 4)2}, (67)
2T, ? m = mn 21/ m (f'2 + V2 + ?'2) +
+ 2'/ nii mk {(?' - 4)2 + (Vi - Vkf + (f- Q2}, (68)
198
У. ГАМИЛЬТОН
где знак суммирования Г, распространяется только на первые п - 1 точек
системы. Применяя, следовательно, наше общее правило, или закон
переменного относительного действия, и следя за тем, чтобы бп - б
внутренних координат I, г), С, а, Р, у были независимы, мы найдем
следующее новое выражение:
6V, = t дН, + гп (Г (51 - а' да + П' dfj - р' <5/S + ?' <5? - у' ду) +
+ -V-Щ тк {(?{ - ?'к) (<5?, - д?к) + (ч; - -щ'к) (8rjl - drjk) +
+ (dC'i - д Q (д?, - д?к)} - 2> ttlj mk{{a\ - a'k) (<5a, - dak) +
+ (Pi ~ PL) № - m + № - Y'u) (<V, - (W1)
которое помимо уравнения (О1) даст следующие группы :
б1Л т 2т(Г1-?) = т1(%--^0-),
2 т (ц\ - П') = Щ (rj't - ,
=7 = -fazm ft ~ ?') = mi (" - ^0~)
8 Si
8V,
8гц
8 V,
2 m mi
(X1)
8V, -mi
Sai 2: m
8V, -mi
8V,
; m -mi
2,т(а\ - a') = -nii (a' - ,
2 m (Pi - n = -mt (/S' - -^0-) , \2т(у\-у')=-т\у\-Щр^).
8yi 2? m ^ v r 1 r ' 4 JT m
Эти результаты могут быть суммированы следующим образом : (5 v, = t дН, +
2, т (Г <5f - а' да + if - /?' 60 + С' <5С - у' <5у) -
(Y1)
22 т
(2, mi' 2-mdi + 2тп' 2>тдг1 + 2. mi' 2.m6Q +
+
-s- (2> m a' 2'/ mda + 2, m0' 2>m 60 + 2> my' 2>m dy);
они могли бы быть выведены из нашего правила иным способом при помощи
другого известного преобразования
Т, = у 2> m (Г2 + п'2 + Г2) - U'm $Т +-(4Чт^)г + (---т?-)г • (69)
Для того же чтобы получить для любой группы внутренних или относительных
отметок положения два уравнения в частных производных, которым должна
удовлетворять характеристическая функция V, относительного движения и
которые представляют (как мы убедимся далее) главный способ раскрытия ее
формы, а именно уравнения, аналогичные тем, которые обозначены (F) и (G),
нам только нужно исключить приращения отметок положения системы, которые
определяют конечные и начальные компоненты относительных скоростей ее
точек согласно закону переменного относитель-
ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
199
ного действия, исходя из конечных и начальных выражений закона отно'
сительной живой силы, а именно из следующих уравнений :
Закон площадей [или свойство, относящееся к вращению, которое было
выражено уравнениями в частных производных (Р) ], также всегда может быть
выражен в относительных координатах; он поможет нам раскрыть форму
характеристической функции V,, показав, что эта функция включает только
такие внутренние координаты (числом бп - 9), которые не меняются при
любом общем вращении всех конечных и начальных точек вокруг центра
тяжести или вокруг любого другого внутреннего начала, при условии, что
при определении эффектов такого вращения это начало рассматривается как
неподвижное, а величина Н, как постоянная. Таким образом, общая задача
динамики, касающаяся движений свободной системы п точек, притягивающих
или отталкивающих друг друга, сводится в конце концов при использовании
метода, изложенного в данной работе, к отысканию и дифференцированию
