Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому мы можем написать
У = _m1mtw_ нз)
тх + ш2 у '
причем w является функцией а, т, а, форму которой следует определить
путем исключения v, и е, из трех уравнений :
w = 2 ][fia (v, + е, sin v,),
а = 2а(1 - е, cos?;,), (I3)
т = 2а (1 - e?)Tsin?;,,
14 Вариационные принципы механики
210
У. ГАМИЛЬТОН
и можно считать, что эта новая функция w сама является характеристической
функцией эллиптического движения. Закон ее варьирования выражен следующим
образом в обозначениях, принятых в данной работе:
(iw = (' д? - а' да + rf дг/ + ft dfi + ?' д'С - / ду + ¦ (К3)
В этом выражении ?, ц, С представляют собой относительные координаты
точки т1 во время t, отнесенные к другой притягивающейся точке т2 как к
началу и к любым трем прямоугольным осям; ??', С' представляют
собой их приращения или три прямоугольных компонента конечной
относительной скорости ; а, /?, у, а', /?', у' представляют собой
начальные значения или значения в момент времени, равный нулю, этих
относительных координат и компонентов относительной скорости; а
представляет собой величину, независимую от времени, а именно среднее
расстояние двух точек тъ т2, а ц представляет собой сумму их масс. Теперь
все свойства невозмущенного эллиптического движения планеты или кометы
вокруг Солнца могут быть выведены новым способом из упрощенной
характеристической функции w путем сравнения ее вариации (К3) со
следующей формой:
+ -?да, (L3)
в которой
(5<т (5т да
а = + К"2 + /З2 + у2 , }
________________________________- j (М )
т = ± K(f - ")2 +(v- № + У - г)2 • ]
Это сравнение возвращает нас назад к общим интегральным уравнениям
относительного движения бинарной системы (89) и (90), но теперь мы имеем
следующие конкретные значения коэффициентов А, В и С :
. _ J_ dw_ I J_ dw_ Г - - 1 I 1
A ~ T~6a dr ' т dx * L - To da + r dr ^1N '
dw dw dw
и для трех частных производных имеем следующее соотно-
шение :
dw . dw . dw W
IT + (r) ST + т -Й7 = -2 ' <° >
где w является однородной функцией степени п0 отношению к трем вели-
чинам а, а, т. Мы имеем также, приняв во внимание равенство (I3),
l/ii F е' _ (Р3)
| a cos(r),-e, ' ' '
Отсюда
dw f-t*. __
да а е,
c5jv dw -2/и.т
да dr а - А
sin v, dw _ ]/ fi У1 - е,
- cos v ' dr
<"¦>
И, наконец, отсюда можно вывести следующие замечательные выражения:
( dw . 6иЛ2 4(I Л 1
( da dr J а + т а '
, \ (R3)
f dw <5иЛ2 4ц
( da dr ) a - т a ' J
Эти выражения, как мы убедимся, окажутся очень важными для приложения
настоящего метода к теории эллиптического движения.
ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ 21}
16. В данном случае мы не станем вдаваться в какие-нибудь подробности
такого приложения, но можем отметить, что то обстоятельство, что
характеристическая функция включает только эллиптическую хорду и сумму
крайних радиусов (кроме среднего расстояния и суммы масс), представляет
при помощи нашего общего метода новое доказательство хорошо известной
теоремы, заключающейся в том, что эллиптическое время также зависит от
той же хорды и суммы радиусов и дает новое выражение для закона этой
зависимости, а именно [81]:
1 . (S3)
fi да ' '
Можно отметить также, что та же форма характеристической функции
эллиптического движения при помощи нашего общего метода приводит к
следующим любопытным, но не новым свойствам эллипса, заключающимся в том,
что если провести к такой кривой две касательные из какой-либо общей
внешней точки, то эти касательные стягивают равные углы в одном фокусе, а
также стягивают равные углы и в другом. И обратно, если какая-нибудь
плоская кривая обладает этим свойством, будучи отнесена к неподвижной
точке в своей собственной плоскости, которая может быть принята за начало
полярных координат г, в, то эта кривая должна удовлетворять следующему
уравнению :
c'g(4rK-=^+2>i4. <II5>
которое может быть приведено к следующему виду :
(ж +-ж) У - 0 ¦ <пв>
и отсюда интегрированием получим
Г Т+ ecos (0 - й) '
следовательно, кривая представляет собой коническое сечение, а
неподвижная точка - один из ее фокусов.
Свойства параболического движения являются предельными случаями свойств
эллиптического движения и могут быть выведены из них, если мы возьмем
Н = 0 или а=оо. (118)
Следовательно, характеристическая функция w и время t в параболическом,
так же как и в эллиптическом, движении представляют собой функции хорды и
суммы радиусов. Таким образом, полагая в предыдущих выражениях а
бесконечным, мы находим для параболического движения следующие уравнения
в частных производных :
f dw , __ 4 fi f dw йиЛ2 4/i ,T3v
( да dx j a -f- r ' ( da dr J a - r
Действительно, легко можно показать, что параболическая форма упрощенной
характеристической функции w будет
w
= 2 У(л (уа + т ± - т ) , (U3)
14!
212
У. ГАМИЛЬТОН
где т, как и раньше, представляет собой хорду, а а - сумму радиусов, в то
время как аналогичный предел выражения (S3) для времени будет
t = + т)2 ± (а ~ т)2}-
Последнее выражение известно [82].
Формулы (К3) и (L3), к сравнению которых мы свели изучение эллиптического
