Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
функции V,, зависящей от бп - 9 внутренних или относительных координат
[80] и от величины Н, и удовлетворяющей двум уравнениям в частных
производных первого порядка и второй степени. При интегрировании этих
уравнений мы должны проследить за тем, чтобы в принятом начале движения,
а именно в момент, когда t = О, конечные или переменные координаты были
равны их начальным значениям, причем <5К/ "
частная производная-^- исчезает. При этом в момент времени, отстоящий
на бесконечно малую величину от начального, дифференциальные изменения
координат имеют коэффициенты, связанные посредством закона переменного
относительного действия с другими частными производными
характеристической функции V,. Здесь можно отметить, что хотя
рассмотрение точки, обычно называемой центром тяжести, весьма просто
подсказывается процессом, описанным в десятом параграфе, тем не менее,
этот внутренний центр еще проще определяется нашими более ранними
выводами из закона переменного действия. Эти выводы показывают, что
компоненты относительных конечных скоростей в любой системе
притягивающихся или отталкивающихся точек могут быть выражены при помощи
разностей величин вида 1 8V 1 8V 1 8V "
~т~дх' ~пГ~ду' 1п~дг ' Следовательно, при вычислении этих относительных
скоростей выгодно ввести в выражение характеристической функции V, среди
отметок крайних положений системы конечные суммы ? тх, ? ту, ? mz и
аналогично также начальные суммы ? та, ? mb, ? тс, так как при
дифференцировании этого выражения для вычисления относительных скоростей
эти суммы могут рассматриваться как постоянные.
О системах из двух точек в общем; характеристическая функция движения
любой бинарной системы
13. Для иллюстрации изложенных выше принципов, которые распространяются
на любую свободную систему точек притягивающих или отталкивающих друг
друга, каково бы ни было их число, рассмотрим, в частности, систему двух
таких точек. Для такой системы известная силовая функция U посредством
(2) принимает вид
и
Т, = U + Н, Т, Q = U0 + Н,.
(50)
(70)
U = m1m2f(r),
(71)
200
У. ГАМИЛЬТОН
где __________________________________
Г = У(х 1 - *2)2 + (У! - у2)2 + (2i - z2)2 (72)
представляет собой расстояние между двумя точками mv т2, а / (г) -
функцию этого расстояния, так что ее производная или дифференциальный
коэффициент /'(г) выражает закон отталкивания или притяжения точек, в
зависимости от того, является ли она положительной или отрицательной.
Теперь известные дифференциальные уравнения движения второго порядка
выражаются на основании равенства (1) следующей формулой :
т1 (х'[дх1 + у\ду1 + z" Szx) + т2 (х2 дх2 + у2 ду2 + z'2bz2) = т1 т2 df
(г), (73) следовательно, отдельно они будут :
*/(г) V" - 772 а/(г) 2" - 772 *f (Г)
дх, ' У1 - Ш2 8уг > Zi - m2 8Zl
<5/ (г) sf ('') Sf (r)
(74)
Задача интегрирования этих уравнений состоит в том, чтобы попытаться
найти с их помощью шесть отношений между временем t, массами mv т2,
шестью переменными координатами xv у1( zv х2, у2, z2 и их начальными;,
значениями и начальными скоростями av br, съ а2, Ь2, с2, а[, Ь\, с[, а2,
Ь2, с2. Если бы мы знали эти шесть конечных интегралов и сочетали их с
начальной формой закона живой силы или известного промежуточного
интеграла
2 тг (*12 У\ "Ь 212) ~Ь у т% у'ъ 222) = /722 f (г) Н ,
(75)
т. е. с выражением
у Щ ("i2+ К2 + с?) + у т2 ("г2 + К2 + с22) = m1m2f (r0) + Н, (76)
в котором г0 представляет собой начальное расстояние
г0 = У("1 - "г)2 + (bi - Ь2)2 + (сх - с2)2 , (77)
а Н - постоянную величину, введенную при интегрировании, то мы могли бы
путем комбинирования этих семи отношений определить время t и шесть
начальных компонентов скорости а[, Ь\, с[, а2, Ь2, с2 как функции
двенадцати конечных и начальных координат xv ут, гъ х2, у2, z2,
ах, Ьу, сг, а2, Ь2, с2
и величины Н (включающей также массы). Следовательно, мы могли бы
определить все, что зависит от способа и времени движения этой системы
двух точек, как функцию тех же самых граничных координат и той же
величины Н. В частности, мы могли бы определить действие или накопленную
живую силу системы, т. е.
V = 7721 J (х;2 + у;2 + Z'2) dt + 7722 /(Х'22 + У'22 + z'2) dt, (А2)
О о
как функцию этих тринадцати величин х1У yv zv х2, у2, z2, а1У Ьг, съ а2,
Ь2, с2, Н и вычислить вариацию этой функции
W о , SV о , 8V о , 8V " . 8V . , 8V ", ,
8V - dXl + ду, ду> + dZl + <5х2 3X2 + <5у2 У2 + <5za 3Z* +
I Л I ^ ли I ^ Л I ^ Ал I ^
Ah I ^ А/' I ^ АН /R2\
+ + ж 1 + "^Г 2+ бь2д1>2+ дс2 дс*+ днбН-
ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
201
Однако сущность нашего метода состоит в том, чтобы предварительна вывести
выражение этой вариации при помощи нашего закона переменного действия, а
именно :
дV = тх (х[ дх1 - а[ да1 + у[ дух - b[ dbx + z[ dz1 - с'х дсх) +
+ т2 (xi дхг - а2 даг + у' дуг - Ь'г bb% + z' дгг - с'г дс2) + tdH, (С2)
и в том, чтобы рассматривать V как характеристическую функцию движения,
из формы которой можно вывести все промежуточные и все конечные интегралы
