Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
показывает, что
(ж-Vo !)(/;_)=о, (3-127)
Семейства солитонных уравнений и методы их решения
139
что означает, что как tj_, так и Du_ постоянны вдоль характеристик 0_.
Эти факты проверялись численно при решении (3.123) как задачи Гурса:
заданы и~, tj_ = 0 на 0_ = О, и при ц_, заданном из (3.126а) на 0+ = О,
находятся tj_, u_.
Поэтому закон Грина не выполняется для отраженных волн. Причина состоит в
том, что закон Грина следует из соображений геометрической оптики, для
справедливости которых требуется медленное изменение характеристик среды
по сравнению с горизонтальными градиентами в волне. Здесь же как (1
/и~)ди~/дх, так и Dx/D имеют одинаковый порядок малости О(ае). Из
(3.123а) ясно также, что амплитуда отраженной волны порядка 0(<те).
Однако, поскольку ее длина -~0(ае)_1, она переносит поток массы порядка
единицы, и мы сейчас его вычислим.
Пусть х = Xf - это точка, в которой глубина снова становится постоянной
Df. Тогда полный поток массы через произвольное сечение х должен быть
равен потоку массы, переносимому движущейся вправо компонентой через
сечение в точке Xf, поскольку правее ее уже нет отражения.
Мы уже получили, что поток, переносимый правонаправленной компонентой,
равен
4%о,/4М.
Теперь мы получаем, что поток массы, связанный с отраженной волной, равен
I-Ло (Dy*-pv*(x)).
Рассмотрим выражение
Ч
^ D (х) и_ {х, t) dc t+ w
и запишем его как интеграл вдоль пути 0+ = О от х = х до х - Xf,
пользуясь постоянством Du- вдоль характеристик 0_. Отметим, что ^-
координата точки Р(х, t) на рис. 5 и х-компо-нента Р+(у, ty) точки, в
которой пересекаются идущая влево
х у
через точкуР характеристика i + \ D~m(s) ds = ty4-\ D~ll2(s)ds
140 Глава 3
у
с кривой 0+=О, ty = jj D~U2(s) ds, связаны соотношением
X у
t + J D_1/2 (s) ds = 2 J D-1/2(s) ds.
Поэтому
xf
S (f
x!
X
что и требовалось.
Читателю следует обратить внимание на постоянство полного потока массы
через сечение х, который равен
- и DI/4 3 'оиf ¦
Это означает, что при малом D; большая часть воды отражается и лишь очень
небольшая распространяется до берега.
Упражнения 3g
1. В нижеприведенных примерах найдите, как изменяется параметр г|, а
также форму шельфа при условии, что q(x, 0) - = 2r|2sech2r|0x:
(a) qt + 6qqx + qxxx = aqxx, 0 < or < 1
(b) qt + bq2qx + qxxx = aq, 0 < cr < 1.
Ответы.
/ ч (л , 16tloa^ 1/2
(a) Л - 'По \^1 Л is-)
8т10сх f-2ax \ " . . -
Чс = -fg-exp^-jg- J, 0 < х < х,
xt = 4г|2.
(b) ц = г|0е2<т(
nae2at А ^ -
Qc = ~2~~.-, 0 < х < х,
Л о + 4ах
xt = л2.
Семейства солитонных уравнений и методы их решения
141
2. Используйте законы сохранения
~§Г S qq*dx' W S (qq* ~ qq^ dx
и найдите, как меняются параметры ц, ? солитона НУШ
q (х, t) = 2т] sech 2т] (х - х) exp {-2i%x - 2id),
удовлетворяющего уравнению
4t - 1Яхх + 2г<72<7* - Г<7 - Ееш, Г, ?< 1.
Покажите, что - -Г(|т]). Предположите, что | = 0. По-
кажите тогда, что
% = -2Гт] + пЕ sin (a)0t -f 2а), at = -2т]2.
Проанализируйте эти уравнения и покажите, как фаза уединенной волны
привязывается к вынуждающей частоте соо- Подробности можно найти в [45].
3h. Многосолитонные, рациональные и конечнозонные решения [25-29], [83-
85].
Что мы собираемся делать. Первой нашей задачей будет получение
многосолитонных решений для КдФ-иерархии новым и поучительным способом.
Подход этот поучителен тем, что он демонстрирует единую структуру
собственных функций ф(х, hk+v, i), связанных с многосолитонным решением.
В подходящей нормировке они имеют вид произведения многочлена по на
простую экспоненту, и при выводе формулы для решения непосредственно
используется эта структура. Затем аналогичным способом вводятся
рациональные решения, что проясняет их связь с многосолитонными,
предельным случаем которых они являются. В обоих случаях q(x, t2k+\)
задается формулой
d2
q(x, t2k+\) = 2-^р- In т,
где т -это определитель матрицы jVXjV, после раскрытия принимающий вид
(3.88). В пределе рационального решения % является полиномом.
Вторая и большая часть этого раздела посвящена выводу конечнозонных, или
иначе многофазных, квазипериодических решений. Это значит, что q(x,
t2k+1) является периодической функцией N фаз 0,-, i - 1,..., N, каждая из
которых линейна по х и t2k+1, 0, -- 2 С1'Л> t\ - x. Поскольку Cij
не обязательно
нечетн. /
142 Глава 3
соизмеримы, q лишь квазипериодично по t2k+\ и х. Однозонное решение
уравнения КдФ qt + 6qqx -f qxxx - 0 имеет вид
q (х, t) =
= Р -f (а - Р) сп21 (х - 2 (а + р + у) t - хй)\
•
Я разбил вычисления, связанные с подобными решениями, на три этапа.
Сначала я покажу связь Л^-зонного решения с не зависящей от t2k+u А = 0,
..., N, римановой поверхностью
2 N
R: г/2 = -П(^-^).
;=и
Потом я введу новые координаты р/, / = 1, .... N, лежащие в фиксированных
интервалах (faj-i, fa j), } - 1, N. Их зависимость от t2k+ь А = 0 N,
определяемая формулой (3.167),
получается из простого и красивого вычисления. На первый взгляд эти
уравнения не кажутся проще первоначальных, из которых они были выведены.
