Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
т). После этого q(x) находится из (3.80). Иногда удобнее записывать
(3.82) в более компактной форме
B(z) = jr\iR(l)e^dl, (3.83)
с
где контур С идет из | = -оо в ? = +оо над полюсами R(Q.
Эта формула верна только тогда, когда R(l) допускает анали-
тическое продолжение в верхнюю полуплоскость.
Класс безотражательных потенциалов. Класс безотражатель-ных потенциалов
q(x) возникает, когда коэффициент отражения R(?) тождественно равен нулю.
В этом случае проще работать непосредственно с (3.78):
ф (х, Q е~К* = 1 - ^ J • (3.84)
120 Глава 3
Заметим, что из (3.71) при %k = iv\k получается
N
я м=2i^Yu (3-85)
I
Положим в (3.84) t> = tll = lx[j и получим систему N линейных уравнений
относительно "ф*,
из которой можно найти прямым вычислением \p(x, 1)ег^х и q(x). Пользуясь
свойствами bk и а(?), легко показать, что у к является чисто мнимым и что
yk = 2i4ke2^^. (3.86)
Односолитонное решение с ?i = ir\ (каждое дискретное собственное значение
приводит к возникновению одного солитона)
_iix __ j _ tg sech т) (* - х)е~^х~х)
-Ч (*-¦*)
* -¦ С-Ил
ГеЪх - 1 - ^ Sech 'П - -?) е 1 Б + Щ
а'^=2^1 ^ = е2^,
е~щ
Ф (х> Si) - J _ е-2ц(х-х) ' ф(х, ?i)=--M(x, ?i) = е2щ
(3.87)
х + е~2х\[х-х) '
q (х) = 2rf sech2 т] (х - х).
В частности, параметр Ьь отношение ф(?) и ф(?) в точке ?ь равен ё2^* и
поэтому определяет положение солитона. В следующем разделе мы получим,
как он зависит от времени t.
Кроме того, можно показать, что потенциал q(x), соответствующий Л^-
солитонному решению, может быть записан в виде второй производной по х от
логарифма функции, которую мы будем называть т(х) (это не то т, которое
входит в уравнение Гельфанда - Левитана) и которая имеет вид
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 121
где
Н} = 2т!у (х X/), = (3.89)
и первая сумма берется по всем р/ = 0 или 1. Читатель может
при N = 2 проверить, что
х = 1 -j- g-24i -j- g-2t|j(*-*2) g"2rii (x-Xi)-2т]2(X-(3.90)
Двухсолитонное взаимодействие. Давайте забежим вперед и воспользуемся
тем, что если q{x, t) эволюционирует согласно КдФ, то X] = 4т]^ -j- х^\ и
исследуем двухсолитонное взаимодействие. Предположим, что > т)2 и
рассмотрим окрестность х ~ х2. Поскольку Xj - х2 = 4 (т]2 - т^2) t,
второй и четвертый члены в (3.90) экспоненциально малы при t-*--оо и
поэтому вблизи х = х2
Т 1 ^~2у\2{х-Х2)
И
q (х) = 2% sech2 ti2 (х - х2).
122 Глава 3
С другой стороны, при xsnxi доминируют третий и четвертый члены, и
т си е-2ч"(*--*а) (1 -}- е~*1' (*-•*,)+Л,*)).
Соответствующее q(x) равно
q (х) = 2ri! sech2 л, (x - M Аг) •
Аналогично при к-|-оо вблизи x = xi
q (x) = 2iii sech2 t\\ (x - x,)"
а вблизи x - x2
q (x) = 2r\2 sech2 % (x - хя - Л12) .
Поэтому меньший солитон ri2, который при больших отрицательных временах
располагается справа от солитона rji, испытывает сдвиг фазы на
(l/2n2)/4i2, т. е. на отрицательную величину. Больший солитон rii
сдвигается вперед на положительную величину - Ai2/2rii.
И наконец, из (3.88) читатель должен заметить, что если есть N солитонов
тц > т|2 > ... > тру, то при изменении t от -оо до -|-оо полный сдвиг
фазы, испытываемый каждым соли-тоном, складывается из попарных сдвигов.
Справедливо также утверждение (и в гл. 4 я объясню почему), что функция,
выражающая сдвиги фаз
А12 = 21п
hi -11" hi + hs
одна и та же для каждого уравнения, входящего в иерархию КдФ. Можете ли
вы сейчас сообразить, почему это верно?
3f. Временная динамика данных рассеяния и влияние малых вариаций
потенциалов. В этой части я в первую очередь хочу продемонстрировать вам,
как меняются во времени данные рассеяния, если q(x, t2k+1) изменяется в
силу любого из уравнений (3.9). Мы начнем со случая, когда q(x, t)
удовлетворяет (3.52). Потом я хочу вывести формулы, позволяющие вычислить
инфи-нитезимальные вариации данных рассеяния, порождаемые инфи-
нитезимальными вариациями бq потенциала. Инфинитезималь-ное изменение
потенциала может быть произвольным и не должно удовлетворять какому-либо
из уравнений (3.9). Эти формулы важны для:
(i) построения теории возмущений в случае, когда q(x, t) изменяется
согласно уравнению типа qt6qqxqxxx = - zF{q, qx, ...), 0<e< 1;
Семейства солитонных уравнений и методы их решения
123
(И) доказательства (3.17), устанавливающего связь между потоками Lnq и
вариационными производными от Н2п+\\
(iii) выражения q и bq через базис из квадратов собственных функций по
аналогии с преобразованием Фурье.
Временная динамика данных рассеяния. Используя (3.53), легко вычислить
зависимость данных рассеяния от времени. Первая задача состоит в выборе
константы С таким способом, чтобы нормировка собственных функций
оказалась совместимой с определениями функций ф(х, t\ ?) и ф(х, t\ ?).
Вспомним, что по определению (3.58) ф(х, t\ ?) ~ е~'& при *-"-¦-оо при
всех t, и для этого необходимо выбрать С = 4it,3. Аналогично для ф(.г, t\
?) следует выбрать С = -4i?3. Следовательно,
Ф< = (Чх + 41'g3) Ф + (4?2 - 2q) ф*. (3.91)
Ф/ = (Чх - Щ3) Ф + (4?2 - Щ Ф*. (3.92)
