Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Солитоны в математике и физике" -> 58

Солитоны в математике и физике - Николис Дж.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике — М.: Мир, 1990. — 323 c.
Скачать (прямая ссылка): solitonivmatematikeifizike1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 113 >> Следующая

конца. Как сам дьявол, она многократно появляется в различных масках.
Иногда она является простым многочленом (рациональные решения уравнения
КдФ), иногда - конечной суммой экспонент (многосолитонное решение). В
других случаях она становится более сложной, скажем, 0-функцией Римана
(умноженной на безобидный коэффициент) или корреляционной функцией.
Звучит интригующе, не правда ли?
Сначала мы познакомимся с ней как с потенциальной функцией, вторая
логарифмическая производная которой позволяет вычислить все сохраняющиеся
плотности и потоки. Рассмотрим семейство потоков КдФ
"<".+. <41)
Для удобства мы введем
X
w = ^ qdx. (4.2)
Тогда (4.1) имеет вид
^a+x = Lnq = 2Ba+l. <4-3>
Следовательно, функцию w(x, tz, • • •) можно рассматривать как
потенциальную функцию для бесконечной последовательности {Lnq = 2Bn+l}0.
Сейчас известно, что производные всех этих функций относительно различных
времен, а именно (d/dt2m+i)Lnq, могут быть записаны как производные по х
или tx от локальных величин. Поэтому естественно использовать
потенциальную функцию т(Гь tz, •¦•), определенную формулой
ш=--2А-1пт(/,, /3, ...), (4.4)
вместо самой до. Тем самым вы видите, что д ]П д_ " д21пт
Л2* + . 4 *2," А + >
и, таким образом, все производные по времени последовательности {Lnq}
заданы одним уравнением в форме закона сохранения по отношению к
выделенной переменной х. Заметим, однако, что выражение для потока,
соответствующее скорости изменения плотности Lnq в потоке (КдФ)3,
наиболее удобно задать в виде
т-функция, метод Хироты, свойство Пенлеве 161
производной относительной времени t2n+1, соответствующему потоку (п -j-
1) в иерархии КдФ. Этим подчеркивается тот факт, что когда ищутся решения
интегрируемого уравнения, полезно понимать, что в действительности ищутся
общие решения для всей иерархии потоков данного семейства.
Впервые в литературе я приведу формулу тензора потока
Fim + l. 2л+1 = 2 -щ ^ • (4.5)
",2m+r,2n +1
Заметим, в частности, что
L^ = 2aftrL-- (4-6>
1 2п+1
Для того чтобы вывести эту формулу, мы сначала выпишем общее уравнение
для всех В". Так как
Vitn+1= Т В^)у ~ в{П)х,х' (4>7а)
o<im+l = TB*m)v-B'm)v*' (4-7Ь)
где
tm+l 2
л
Вг_
У
нетрудно показать, что
М1+1 - <!'+. + = 0. (4.8)
Теперь определим
в ,• вМ В = lim -рг,
П->оо А
разделим (4.8) на Я" и перейдем к пределу Я-"-с", считая | Я | > 1. Тогда
Bttm+=B^B-B{m)Bx. (4.9)
Записывая (4.7) в виде системы для вектора V = (v\, v2)T, v2 = v, Vi =-
v2x-{-i^v2, мы имеем (Я = ?2)
V'*n+i = Q(2n+1)V> '(4Л0а)
где
Q(2n+1) = (t?B(n)- -4")Я + (iSflg0<75(п))Я + В(П,Я,
(4.10Ь)
6 А. Ньюэлл
162 Глава 4
а Н, Е, F являются базисом
для si (2, С). Легко показать, что для
<4'">
п-> ОО ? о (r)
уравнение (4.9) принимает лаксову форму с обычным матричным коммутатором
Q<tn+.==W(2"+,)* Q1- <4Л2>
Приравнивая компоненты Х~т~} в (4.9), мы находим дВ ±1
- A)*#m+n + l + • • • "Ь Вп-х^т +1 - А)Вт+п+1х~ • ¦ • ^п^т+1х-
2п+1
(4.13)
В качестве примера (довольно трудного) я предлагаю показать, что правая
часть этого выражения может быть записана как половина производной по х
от
,2т+1
^2т+1, 2л+1 == ~п Тг < У sQ2m + i_sQ2n+l+s "Ь
= TTr{ г
s-0
2л+1 ч
+ ^ sQ2m + l+sQ2n+l-sr > (4.14)
S-0 )
где Tr(Q,-Q/) - след произведения матриц и Q, определена формулой (4.11).
Ясно, что выражение (4.14) симметрично относительно замены т на п и
наоборот. Простая перестановка индексов дает нам закон сохранения для
каждого тензора потока:
В р д р _____д р
яг "2m+U 2л+1 л/ r2n+t,2k+l яг г2к+1,2т + 1-
2Й+1 2т+1 2п+1
Зная т как функцию времен х = tь t3, ts, tzn+u • • •, мы знаем все о
решениях каждого члена семейства КдФ. В некотором смысле функция т
действует как потенциал, из которого могут быть получены все компоненты и
все градиенты бесконечномерного вектора В относительно всех времен. Она
также имеет вторую интерпретацию, которую мы будем обсуждать, когда
перейдем к преобразованиям Бэклунда. Однако для того, чтобы расчистить
путь, очень полезны следующие результаты,
т-функция, метод Хироты, свойство Пенлеве 163
которые собственные функции v(x, /з> •••) ставят в соответствие с
функцией т.
Результат, который я сейчас приведу, является формальным, потому что он
использует (3.29а), т. е. асимптотическое разложение v(x, /3......?)
в окрестности ? = оо. (В зависимости от
природы существенной особенности на оо формальное разложение (3.29а)
может не являться равномерным во всей окрестности ? = оо; однако для
специальных классов решений, включая многосолитонные решения, формальное
разложение (3.29а) является рядом Лорана для ? = оо.) Зависимость
асимптотического разложения от времен U, h, ... обеспечивается заменой
экспо-
оо "
ненты -i%x в (3.29) на - i ? ?2fe + ^2*.+ i- Мы находим
о
v(x, t3, ...)~exp(iXS2*+,^+i)e(r), (4.15а)
где
оо
(Т) ~ V
(Щ)
ф'~Етг- <415ь>
1
(Для многосолитонных решений (4.15Ь) имеет место во всех секторах J; = оо
и, значит, является рядом Лорана. Поэтому в (4.15) можно заменять
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed