Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Солитоны в математике и физике" -> 53

Солитоны в математике и физике - Николис Дж.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике — М.: Мир, 1990. — 323 c.
Скачать (прямая ссылка): solitonivmatematikeifizike1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 113 >> Следующая

Однако на третьем этапе я покажу, как осуществить отображение из
римановой поверхности, на которой лежат р/, в новое многообразие,
называемое многообразием Якоби, так чтобы новые, соответствующие р/,
координаты на многообразии Якоби изменились линейно по всем временам.
Решение для q{x, /24+1) имеет вид
с + 24F1п 0 (0"' 02......
где с - константа, 0 - это 0-функция Римана, а 0у = = сц*1> и
константы с, ctl могут быть определены. Отме-
нечетн./
тим, что решение снова имеет вид 2 (d2jdx2) In т. Здесь т ==
= 0<*v">*2.
Многосолитонные и рациональные решения. Если вы снова посмотрите на
(3.84), вы заметите, что собственная функция Ф^" U ?) как функция ? имеет
вид мероморфной функции с полюсами в точках ? = -А = 1, ..., N. Можно
пере-
N
нормировать ф(х, t, ?), умножая (3.84) на LL (? +*4*)"
после чего получится произведение е'& на многочлен степени N по ?-1. Так
как перенормировка не затрагивает х и /, то ф по-прежнему удовлетворяет
(3.1) и (3.92).
Исходя из этих наводящих соображений, давайте искать многосолитонные
решения сразу для всего семейства КдФ (3.9)
Семейства солитонных уравнений и методы их решения
143
(первые три уравнения приведены в (3.14) -(3.16)), отыскивая решения
уравнения (3.1) и семейства уравнений (3.3),
vtk=^B[k)v-E^k)vx, (3.128)
где
B(k) = -1к + В,А,*-1 + . .. + ЯА, (3.129)
в виде *)
v(x, ta, t5, = + ^- + ••• +-^r) (3-13°)
H = %x + %% + ... + it?"+'t2n+l + ... . (3.131)
Перенос qt,=qx сюда не включен; он может быть вновь введен подстановкой
*+/[ вместо х. Совместность (3.1) и (3.128) гарантирует, что q(x, /3, t5,
...) как функция /3, t5, ... удовлетворяет уравнениям семейства КдФ.
Подстановка (3.130) в (3.1) и сравнение коэффициентов при различных
степенях ?-1 дает нам соотношение между Си С2, ..., CN, с одной стороны,
и q и его производными по х - с другой. В самом деле, С j, С2, ... ...,
Cn - это первые N членов асимптотического разложения для v(x, 5),
получающиеся из (3.27). Вот первые два:
q - -2Clx, C2 = C? + -J-. (3.132)
Тот факт, что Cff+r - 0, г ^ 1, означает, что возникающие в результате
этой процедуры решения q(x,t3, ...) удовлетворяют системе обыкновенных
дифференциальных уравнений. Позже мы вернемся к этому вопросу в настоящем
разделе.
Поскольку v(х, ?)(х = (х, /3, •••)) удовлетворяет (3.1), то же можно
сказать и о линейно независимом решении v(x, -?). Если мы возьмем v(x, ?)
пропорциональным ф(х, 5), определенным в разд. d, то v(x, -?) примет вид
асимптотического разложения для ф(х, ?). Мы знаем, что в точках
дискретного спектра 5 == Щь, k=\, ..., N, ф пропорционально ф. Определим
поэтому функции Си ..., CN из условия, чтобы в несовпадающих точках 5 = =
"1*, г)* > 0, А = 1, ..., N, выполнялось
о (х, /rift) = e'^v (х, -/Tift), (3.133)
где e-2Tlfcffc-коэффициент пропорциональности. Тогда (3.133) превращается
в систему N уравнений для N неизвестных,
•) Такую собственную функцию часто называют формальной функцией Бейкера-
Ахиезера.- Прим. перед.
144 Глава 3
которая легко может быть решена. В результате получим
При четных N первый столбец состоит из sh 0/, в остальных столбцах
поочередно стоят то ch 0/, то sh 0/. Фаза 0;- линейна по всем независимым
переменным и равна (Н определено в (3.131))
6/ = Н (ir\,) + r]jXj = цу (х - X;) + г\% - г\% + ....
Читатель может теперь легко вычислить несколько первых решений. Для N = 1
(3.133) имеет вид
собой односолитонное решение.
Теперь произведем действия в обратном порядке. Рассмотрим п(х, ?), v(x, -
?), заданные в (3.130), и потребуем, чтобы выполнялось (3.133). Тогда из
всего предыдущего следует, что такое п(х, ?;) единственно (Ci, ..., CN
определяются однозначно). Таким образом, существует одна и только одна
функция ^(х, ?). удовлетворяющая (3.130) и (3.133). Я теперь утверждаю,
что полученная таким образом функция v(x, ?) удовлетворяет (3.1) и
(3.128). Проверим это прямым вычислением:
<7 = -2С1х = 2^1пГ(0" 02.0").
(3.134)
В этой формуле при нечетных
^ ch Oj -т]( sh 0Х rj? ch 0j ...
W = det - • •
(3.135)
откуда С[ = rj, th 0j, q = -2Clx - 2гц sech20b т. e. представляет
Поэтому функция w(x), которую мы определим как w (х, ?) = vxx + (?2 -
2Си) v =
где dj = CiXX + 2Ci+lx, /= 1, ..., N, dN - CNxx, имеет вид многочлена по
степени N. Однако зсе dj, j - 1, ..., N, должны
Семейства солитонных уравнений и методы их решения
145
равняться нулю, поскольку иначе можно было бы добавить w(x, 5) к v(x, 5)
и сумма и(х, ?) + до(х, ?) удовлетворяла бы (3.130) и (3.133). Однако
v(x, ?) единственно и, следовательно, w(x, ?) = 0. Таким образом, v(x, ?)
удовлетворяет (3.1) с q = = -2С\х. В качестве упражнения покажите с
помощью аналогичных рассуждений, что
о/.-Т-о-(?*--г) ^ = °-
Обратите серьезное внимание на эти рассуждения. Аргументы такого рода,
использующие единственность функций, вновь и вновь возникают в стройной
теории, созданной И. М. Кричеве-ром для нахождения конечнозонных решений
семейства КдФ.
Рациональные решения возникают как специальный предельный случай
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed