Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Солитоны в математике и физике" -> 55

Солитоны в математике и физике - Николис Дж.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике — М.: Мир, 1990. — 323 c.
Скачать (прямая ссылка): solitonivmatematikeifizike1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 113 >> Следующая

порядка 2М+ 1; заменим qt2r+l на
д 6H2r+i д
дх 6q дх
Lrq, (3.155)
где оператор L определен в (3.12). Поэтому М-зонное решение q(x, ts, ...,
^2/v+i) со связанными согласно (3.154) независимыми переменными принимает
вид автономного обыкновенного диф-
Семейства солитонных уравнений и методы их решения
149
ференциального уравнения на q как функцию х:
N
X) u2r+lLrq = const.
(3.156)
о
Уравнение (3.156) известно как уравнение Лакса - Новикова. Поскольку все
потоки коммутируют и совместны с (3.156), уравнение (3.156) описывает
форму У-зонного решения для всех времен 11, /3, U, ..., t2sг-i. Мы вскоре
увидим, что эти времена параметризуют его решения. Более того, связанный
с временем t2m+U N, поток
может быть записан как линейная комбинация потоков Qt2r+], г -0, ..., N-1
(ti=x) с помощью (3.156). Поэтому У-зон-ные решения - это решения не
только для первых N членов семейства КдФ, но и для всей КдФ-иерархии.
Новые координаты и их зависимость от времени. Как же нам получить эти
решения? В методе обратной задачи мы отправлялись от уравнения по х
(3.138) и получали из него данные рассеяния, эволюция которых во времени
находилась из (3.139),
(3.140). В периодической по х задаче мы можем пойти по этому же пути,
хотя я уже упоминал, что найти временную динамику этим способом
затруднительно, поскольку у нас нет точки оо (х = ±°°), в которой было бы
известно q в любой момент времени. Однако при исследовании У-зонного
решения с ослабленным требованием периодичности по х (квазипериодичность)
удобно начинать не с (3.138), а с алгебраической системы уравнений
(3.150). Мы немедленно получаем условие существования нетривиальных
решений V:
Уравнение (3.158), характеристический многочлен для Q, является
алгебраической кривой в (у, X) и определяет гиперэллип-тическую риманову
поверхность рода N. Определитель матрицы Q - это многочлен по X степени
2У+1. Легко проверить, что старший коэффициент равен -1, и мы
предположим, что его корни Xj, / = 0, ..., 2N, вещественны. Риманова
поверхность R играет ту же роль для конечнозонных решений, что и спектр
для начальной задачи. Первым и важнейшим ее свойством является ее
независимость от х, t\, h, ..., т. е. она - интеграл движения. Чтобы
убедиться в этом, продифференцируем (3.150)
У12т+ 1
(3.157)
у2 = det Q = Л2 + ef = - XI (^ - Xj). (3.158)
о
150 Глава 3
по любому из времен и получим
<3-159)
с решением
Q = VW', (3.160)
где Qo не зависит от х и t\, t3, t5 Поэтому характеристический многочлен
Q действительно является интегралом движения. Как следствие, корни А,о,
М. •••. X2N многочлена detQ - также интегралы движения, и для q,
периодического по х, представляют собой простой спектр задачи (3.1) для
периодических и антипериодических граничных условий.
Далее введем новые переменные ц/, / = 1, .... N, являющиеся корнями f(X),
(2, 1)-элемента Q (см. (3.150)). (В нашем примере (3.144) N=1, / = -X +
<7/2 - с и есть только одно р, равное <7/2 - с.) Для выяснения свойств
этих переменных нужны некоторые вычисления. Если мы переведем (3.159) в
три уравнения для hk, вк, /*, вспомнив, что
л)(2А -I) ( hk Л
W ~\fk -hj'
то для полиномов h, е, f получим hx = qf + е,
ex + 2i& = -2hq, (3.161)
fx - 2itJ - 2h,
и для htk, etk, ftk получаются уравнения, из которых нам
нужно только первое:
hhk-\ = ekf - he- (3.162)
Теперь несложные вычисления показывают, что из (3.161) следует
у* = + ef = - ± ffxx + + Я) /2- (3.163)
и поскольку / всегда вещественно, у2 (ру) (А, = ру) > 0.
Следовательно, корни f лежат между Х2к-\ и X2k, k=\, ..., N, и мы
перенумеруем их так, чтобы X2k-i Р* X2k, k=\
/(Л.) П (^-Р/). (3-164)
1
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 151
Теперь, сравнивая коэффициенты при X2N, получим из (3.162), (3.163),
(3.164)
2 N N
<7=-?*/ + 2? И/. (3.165)
о 1
Проверим это для N -I: р = <7/2 - с и q(x) = -Я0 - A,i - Л2 + -\-q(x) -
2с; но мы видели, что сумма корней равна -2с, и поэтому выполняется
(3.165).
Все р,- содержатся внутри интервалов (Я2/-ь Я2/) и движутся при изменении
х, U, ¦ ¦ ¦, ^лч-ь Сейчас мы найдем эту зависимость. Поскольку h2-\-ef
постоянно, то
2ЛА^_, + efhk_x + ehkJ = 0. (3.166)
При Я = р/, используя (3.162), получим из (3.166)
2Л (р/) {-efk (р/)) + (ц./) = 0.
Вспоминая (3.164), имеем
/(2*_, (Р/) = -Ы(2к-1 П (l*j - I*/).
и из (3.158)
y'2N \ 1 /2
А (ц./) = (П(^- !*/)) •
Поэтому
? 2Л/ \ 1/2
П^-м)
°пft = i ЛГ, (3.167)
1Ф!
и мы получаем зависимость р,- от t\=x, /3, ..., /2лг-i- В частности, для
k - 1 (t\=x)
> 2 W \ 1/2
(-D
/ 2Л/ \1

ц--* ' (3-168)
1Ф1
Для k = 2, т. е. для потока КдФ,
> 2Л/? \ 1/2
/ 2Л/г 4 1
<3-169)
V1U =
1Ф!
и q следует выразить через Я; и р,- с помощью (3.165).
152 Глава 3
Отображение Абеля из римановой поверхности в многообразие Якоби. На
первый взгляд уравнения (3.167) выглядят ужасно. Тем не менее мы
собираемся показать, что после некоторых манипуляций в них начнут
проявляться порядок и структура. Вначале я напомню, что при равном
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed