Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
единице u2n+\
f = u\f\ + uzft + • • • + u2n-Jn + !n+i" (3.170)
где
/ft = A*-1L(0)(-l) +Aft~2L'(-l)+ . . . + X°Lk~l (- 1). (3.171)
В (3.171) L - это оператор (3.12), a L°(-1) =- 1 L(-1) = ^/2. Отметим,
что f2 = q/2 - Я. Как это можно увидеть? Заметим, что если записать ^-
уравнения (3.3) в виде системы с v2 = v,
(М = (hk ek V м
\V2 )t2k_x \fk -hk)\v2)'
hk-\
то тогда fk = BW= BaXk~l + ... + Bk-u где Br определены в (3.13). Кроме
того, поскольку
/ (А.) П (А. - |*у), (3.172)
/=1
то сравнивая коэффициенты при различных степенях Я, получаем
Sj = L (- 1) + u2N_iL (- 1),
-S2 = L2(-1) + u^L1 (-1) + "алг-з^-°(-1).
(-1) SN - L u2N_{L (--1) + ... + "iL°(-1), (3.173)
где {Sr}^=i - симметрические многочлены от корней
•Si = 2 р.*, •S2=2llftM'/, • ••> Bn == Мч ••• Mw- (3.174)
кф1
И наконец, удобно определить последовательность {Лг}Г соотношением
= (3.175)
Вот первые несколько:
А0=\, Ai - u2n__\, А2 = -u2N_3 и2м-\,
Д} - - 2w2y-iw2/v-3 Щн-\, (3.176)
Семейства солитонных уравнений и методы их решения i S3
При этих определениях можно обратить (3.173) и получить L(-l) = Si + Ai,
-L2(-l) = S2 + AlS1 + A2,
L? (- 1) = S3 + A]S2 + /12S! + A3,
(3.177)
(--l)w_l (- 1) = SN + /4[5W_, + ... + An.
Отметим, что первое уравнение (3.177) совпадает с (3.165): 1 1 2N
-тг-Д = -^-u2N_\ = - поскольку Xj - это корни К2 + ef.
II о
Теперь исследуем (3.167) и запишем это уравнение так: dp/ 2fk (р,)
У (Md) (р/ - р/)
1Ф1
dtik-i- (3-178)
Введем для точки гиперэллиптической римановой поверхности R
1N
!?(*¦) = П (Я., - Я.)
о
координаты (у, X). Далее образуем N линейно независимых голоморфных
дифференциалов над R
"МЬ) = ущ-, 5 = 0, ..., N-L (3.179)
Из (3.178) получаем
j у (р/) Zj у (р/)
1=1 /=1 1=1
N N
tih (Iх/)
1Ф1
n V1 ^ ^p)(p?-'l°(-1)+p (-1)+ ... +i'-,(-D)
" 11 '
1Ф1
s = 0, ..., TV - 1. (3.180)
154 Глава 3
Мы получили замечательный результат: величины
У _(3.181)
' 1Ф1
не зависят от х, /з. • - •. t2r~i Поэтому можно легко проинтегрировать
(3,180), поскольку ^d<ps = <jps, ^ dt2k-\ ~t2k-i-Для доказательства нам
нужно воспользоваться тем, что
N s.
= 6S,AT-1 для s<jV -1 (3.182)
П <1*/ - w)
1Ф1
и что оставшиеся члены последовательности IN, h+i I2n-i
удовлетворяют рекуррентным соотношениям
h = S./tf-ь I лг+i = S\Iff S2IN_ i,
^лг+2 - Silff+i - 52/лг + 5з/лг_ь (3 183)
^2ЛГ-1 - B\I2H-2 S2l2N-3 +...+(- 1)^ 5Л)/ЛГ_1.
Доказательство этого я оставляю читателю в качестве упражнения, а (3.182)
доказывается рассмотрением
_±_С_
2т J N
zs dz
с П(2 - w)
/=1
где С - бесконечноудаленная окружность.
Доказательство же (3.183) получается вычитанием соответ-
N
ствуюгцих кратных zp П (z -- pft), р = 0, г из числителя
I
гы+г для обеспечения сходимости интеграла при |z|->-oo.
Показать справедливость (3.181) проще всего, вычисляя несколько первых
выражений. Для k = 1
N s______
Z-ПГ-Ч = из (зл28):
hDW-w)
1ф1
Семейства солитонных уравнений и методы их решения
155
для k = 2, пользуясь (3.183), (3.182) и первым из уравнений (3.177),
получаем
?¦
/=1
Р/+1 (-1) + L (- 1) р)
П (Iх/ - М-г)
1Ф1
О, s<iV-3, ' -1, s = N- 2, Аи s = N - 1.
(3.184)
Для k - З, заменяя L(-1), L2(-1) из (3.177),
,s+2 i
' 0, s<jV- 4,
1) + /.(-1)ц/+1 + /.2(-1)р) -К s = N- 3,
П (Iх/-и) А, s = N - 2,
1ф/ -А2, s = N - 1,
,V
I-
i=i
(3.185)
поскольку и -/jy+i + 5i/w - S2In-i, и In- Si равны нулю вследствие
(3.183). Теперь картина ясна, и по индукции легко показать, что (строки s
= 0 N- I, столбцы k = \, ..., N)
О 0 0 ... -1
О О
. -1
-1 А,
А\
~А2
lN- 1
(3.186)
Теперь вернемся к (3.180) и проинтегрируем, поскольку теперь переменные
разделяются. Из правой части получаем
2(2 k-iMsk, s=0, ..., N- 1, k=l,...,N, /[ = *.
N
Левую часть, а именно У. oos(p,), проинтегрируем от фиксиро-
/= 1
ванной точки на римановой поверхности ро(у(ро), ро) Д° Pi(y(w)> Iх/):
N Pl N
(рь ¦ • •. pn)=Yj S ^=2 Et2k-
(3.187)
/=1 Po
fc=l
Фазы qps(pi Pn) - это просто линейные комбинации х, t3, ...
. . . , t2N-1.
Однако подождите! Интегралы в левой части (3.187) неоднозначно
определены, поскольку не зафиксированы пути интегрирования. Рассмотрим
рис. 6 с контурами (аЛ\, {6/}f. Контур аг окружает разрез между точками
ветвления Xir-1, Х2г. Контур
156
Глава 3
же bs приходит из -оо к разрезу (Х2г~ь taг), там переходит на другой лист
и возвращается обратно. Поэтому левые части определены с точностью до
сумм вида
Удобно следующим образом нормировать замкнутые интегралы по циклам ак\
положим
где N - это произведение СМ. Перепишем (3.188) как0 = 2М, где 0 = (0ь
0jv) Ht=(fi, t2N-i). Теперь, когда мы проинтегрировали уравнения, нам
осталось вычислить всевозможные симметрические многочлены от ру,
определяющие q, Lq, ... ..., LNq, которыми мы интересуемся. Вопрос
состоит в следующем: заданы
N
N
СО
Aq Л| Лг
Л.
Рис. 6. Контуры {а/}, {bj} на Л-плоскости.
U f- X Crs(&s
о
и выберем Cms так, чтобы
^ ст - &пт
Теперь определим фазы 0Г:
N р!
У=1 Ра
и из (3.187) получаем
N
0r= Е = 2 2 t2k_xNrk,
