Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Сферические электромагнитные волны и информация 127
где Я(02) (") -соответственно функция Ханкеля нулевого
порядка и первого и второго рода, т. е.
л
я<0"(") = -!- jj e/"cos6c?6 (3.3.16)
о
Я
Я(,2>(-")=-ЯИи); (3-3.17)
окончательно мы можем записать, что /к" •
= ^ Я^ (Яг sin -6) eiK\z 1 cos # sin -& Я>, (3.3.18)
(-я/2) + /оо
контур интегрирования на комплексной 0-плоскости при этом становится
симметричным (рис. 3.9). [Заметим попутно, что
Рис. 3.9. Симметричный контур интегрирования, используемый при разложении
сферической волны (см. текст).
если мы используем сферическую волну как носитель информации, то объект
информации "кодирует" себя, предположительно, в лучевых компонентах
носителя (подробнее об этом см. в конце настоящей главы и в гл. 4). Но
исчезающие волны не распространяются, поэтому хранящаяся в них информация
оказывается необратимо потерянной. Поэтому даже на этом этапе мы можем
прийти к заключению о неполноте информации, передаваемой нашими
носителями, и вытекающей из нее неоднозначности воспринимаемого объекта.]
128
Глава 3
Выше мы продемонстрировали эффективный математический способ разложения
сферической волны на лучи - действительные и мнимые. Рассмотрим теперь
сферическую волну, но не в бесконечном пространстве, а заключенную в
некоторую полость, тем самым мы подготовим почву для введения
распределения Планка.
Будем действовать постепенно. На первом шаге рассмотрим одномерную
"полость", а именно сферическую волну, распространяющуюся между двумя
параллельными идеально отражающими стенками, отстоящими друг от друга на
расстоянии h. Как мы увидим, такой способ удержания порождает
"макроскопическое (классическое) квантование" сферической волны, т. е.
переход от непрерывного спектра (с бесконечным числом - континуумом-
степеней свободы) к дискретному спектру (с конечным числом степеней
свободы) "нормальных мод".
"Квантование", которым занимается квантовая теория, относится к
дискретности энергетических уровней каждой из этих дискретных нормальных
мод, т. е. к числу фотонов, принадлежащих каждой нормальной моде.
Эти числа фотонов подвержены флуктуациям. Неопределенность, порождаемая
такими флуктуациями, и создает энтропию электромагнитного излучения (и
отвечает за ту информацию, которая поступает при наблюдении с помощью
прибора, имеющего конечную апертуру - площадку, на которую падает
приходящее излучение). Кроме того, дополнительная неоднозначность
возникает из-за флуктуаций среды, в которой распространяются волны.
3.3.2. Волноводная модовая теория распространения волн
Рассмотрим (рис. 3.10) сферическую волну exp (jKR)/R, распространяющуюся
из центра (0, г0) в одномерном волноводе, о котором мы говорили выше.
Требуется вычислить величину энергии, поступающей в другую точку (г, z)
внутри волновода.
Формально мы должны найти гармоническое поле и, удовлетворяющее волновому
уравнению
и граничным условиям, наложенным на поле при 2 = 0 и z = h.
Если в качестве поля и выбрать г-компоненту вектора Герца (вертикальную
поляризацию, коэффициент отражения равен единице), то граничные условия
будут иметь вид
У2н + К2и = 0, К =
(3.3.19)
(3.3.20)
Сферические электромагнитные волны и информация
129
(в предположении, что волновод имеет идеально отражающие стенки). Весьма
полезно попытаться найти решение методом проб и ошибок, действуя
следующим образом. Предположим, что прямой луч До. есть решение. Но
функция exp (jKRod/Ro, удовлетворяет волновому уравнению, но не
удовлетворяет ни одному из граничных условий, поэтому она не может быть
решением. Если мы прибавим к прямому лучу ^0, луч Ro2, идущий от
изображения источника, отраженного относительно нижней границы, то поле
exp (jKRo^/Ro, + exp (jKRo,)/Ro2 будет удовлетворять волновому уравнению
и условию на нижней границе, но
Рис. 3.10. Построение принятого поля в канале с помощью суперпозиции
лучей, отраженных на двух границах.
не будет удовлетворять условию на верхней границе. Прибавим далее лучи,
исходящие из изображений источника О0, и его изображения Оо2, отраженных
относительно верхней границы (мы получаем, таким образом, сумму прямого
луча, луча, однократно отраженного относительно нижней границы, луча,
однократно отраженного относительно верхней границы, и луча, отраженного
однократно и от нижней, и от верхней границы).
В результате мы получаем поле
+ ¦
JKR0i
+
JKRo<
которое удовлетворяет волновому уравнению, удовлетворяет верхнему
граничному условию, но не удовлетворяет нижнему граничному условию. Какой
урок мы можем извлечь из такого алгоритма?
130
Глава 3
Последовательно прибавляя пары лучей, идущих из изображения источника,
изображения изображения и т. д., отраженных относительно то одной, то
другой границы, мы попеременно удовлетворяем условию на той границе,
относительно которой симметричен весь набор уже имеющихся источников, но
нарушаем условие на другой границе. После добавления одной тетрады цикл
повторяется. Однако, по мере того как мы прибавляем тетрады лучей,
