Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
у" - направляющие косинусы вектора р (рис. 3.6), то
K = w'' К" = ра",
K = rt'> K = rt">
K = qy\ К" = ру".
и, следовательно,
К.2 = (/(' + !К"У = К'2 - К"2 + 2jK'K" =
= К'2 - К"2 + К'2 - К''2 + К'2 - К''2 +
+21(к'хк:+к'ук"+к'гк':)=
= q2 - р2 + 2jpq (а а" + Р'Р" + у'у") = q2 - р2 + 2jpq cos т,
(3.2.35)
120
Глава 3
где т- угол между векторами р и q; из этих соотношений мы получаем
Здесь q совпадает с К', а р с К" только при т = 0. Решение уравнения
(3.2.28) теперь имеет вид
Е (х, у, z, /) = Е0 ехр [/ (Кхх + Куу + Кгг) - /со/] ==
= Е0 ехр [jq (а'х + $'y+y'z)\ ехр [- р (a"x+$"y+y"z)\ ехр [(- /со/)],
Смысл векторов р и q ясен: |q| есть волновое число, а |р| - коэффициент
поглощения волны в проводящей среде. Необходимо, однако, подчеркнуть, что
вектор q, вдоль которого происходит быстрейшее изменение фазы, не
совпадает с направлением вектора р, вдоль которого происходит быстрейшее
убывание амплитуды. Чему равен угол т? Чтобы найти его, нам необходимо
еще одно уравнение: из соотношения (3.2.37) и этого дополнительного
уравнения значения q, р, т должны определяться однозначно. Третье
уравнение мы получаем из граничного условия, а именно из того, как
плоская однолучевая волна падает из вакуума на проводящую среду и
разделяется на два луча q и р (рис. 3.7).
Выражения для падающей, отраженной и проходящей волн имеют следующий вид:
Et ~ Е0<ехр [jq (а'х + $ty + y'tz)] ехр [- р (a"x+$"y+y"z)\, z< 0,
где (а, р,- у)г, t - направляющие косинусы соответственно для падающей,
отраженной и прошедшей волн; общий множитель e4at во Всех выражениях
(3.2.39) - (3.2.41) опущен.
q2 - р2 = К'* - К"\
pq cost = К'К".
При т ф л/2 из соотношений (3.2.26) следует, что
(3.2.36)
(3.2.37)
или
Е (г, /) = ехр [/ (q • г - со/)] ехр [- р • г]. (3.2.38)
~ Е0. ехр [//С0 (а/Д + Р,// + Yc2)], 2 > 0, (3.2.39)
ЕЛ ~ Е0(. ехр [//С0 {агх + $гу + У/-2)], z>0 (3.2.40)
и
(3.2.41)
Сферические электромагнитные волны и информация
121
Из условия непрерывности для фазы падающей и проходящей волны на границе
г = 0 при любых х и у следует, что
т. е.
поэтому и мы выбираем
так как ?)->- 0 при z-
/С0схг = qat + jpa",
AToPi ~ Q$t + /рРГ' < = р;' = о,
Yt = ± 1.
- ОО.
(3.2.42)
(3.2.43)
(3.2.44)
(3.2.45)
Рис. 3.7. Прохождение плоской волны из вакуума в проводящую среду..
Из фазовых соотношений (3.2.42), (3.2.43) получаем
К0а{ = qa't,
или
(3.2.46)
вследствие симметрии падающей плоской волны должны выполняться равенства
рг = Р' = (5Г = 0, поэтому соотношения
122
Глава 3
(3.2.39) - (3.2.41) переходят в соотношения
Е( == Е0. exp [/'/Со (aix + Y/2)], 2>0, (3.2.47)
= Е0г ехр ЦК0 (atx - у<г)]. г > О, (3.2.48)
Е, = Е0 exp\jq (а'х + y'z)] exp(pz), 2 < 0. (3.2.49)
Следовательно, вектор р всегда направлен вдоль оси -z и
и, так как а'2 + у^=1,
с учетом того, что qa't = /?0аг. = - К0 cos т и a't - - К0 sin Q/q, мы
получаем также соотношение
где по закону преломления Снелла sin О = (q sin Ф<) //Co-
Таким образом, направление вектора q совпадает с направлением
преломленного луча. Соотношения (3.2.37), (3.2.50) дают полное решение
задачи о распространении волны в проводящей среде.
Теперь мы подходим к самому важному пункту в наших вычислениях. Пусть а-
>0. Тогда система (3.2.36) переходит в систему
т. е. мы возвращаемся к вакууму и, разумеется, ожидаем найти там обычный
тип волн, а именно плоские волны с q = Ко и р - 0. Но обратите внимание:
набор чисел q = Kо, р = 0 - не единственное решение системы уравнений
(3.2.51). Существует и другой набор: q Ф 0, р ф 0, т = я/2.
Новое (и неожиданное) семейство решений в вакууме относится к волнам,
которые распространяются без затухания в плоскости, содержащей вектор q,
и экспоненциально затухают вдоль полуоси г (а именно той, для которой рг
< 0).
Члены этого нового семейства называются исчезающими волнами, и для их
описания необходимы два вектора. Семейство плоских волн соответствует
действительным Кх, Ки, Кг- Семейство исчезающих волн соответствует,
например, действительным Кх И Ку и мнимому Кг-
(3.2.50)
(3.2.51)
Сферические электромагнитные волны и информация 123
На первый взгляд кажется заманчивым отбросить семейство исчезающих волн и
не рассматривать их как физические реальности, но, как мы сейчас увидим,
исчезающие волны столь же реальны, как однолучевые плоские волны, и
совершенно неоценимы при разложении сферической волны на "лучевые"
компоненты.
3.3. Разложение сферической волны на элементарные "лучи". Модовая теория
распространения волн. Возбуждаемые моды (степени свободы) в замкнутой
полости
3.3.1. Спектральное разложение сферической волны
Волны, исходящие от электромагнитных источников всех типов, являются
сферическими, т. е. имеют амплитуду, которая с точностью до некоторых
постоянных и фазовых множителей изменяется в свободном пространстве, как
~ехр (jKR)/R, где R - расстояние от начала координат, К - волновое числа
Рис. 3.8. Переменные, используемые при описании сферической волны.
(рис. 3.8). Отличительная особенность сферической волны состоит в том,
