Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
более низких частотах, проектировались и строились легко и просто. (50
лет
140
Глава 3
назад телевизионная связь осуществлялась исключительно на длинных волнах
~ 104 Гц и коротких волнах ~ 106 Гц.)
Так как (среднее) число заполнения для фотонов на степень свободы (я) и
фаза ср - сопряженные величины, удовлетворяющие соотношению
неопределенности (Дп) (Дф) 1/2, для точного определения фазы должно было
бы выполняться неравенство <л>> 1. Но из формулы (3.3.55) следует, что
при разумно низких (не слишком малых) частотах величина <л> может быть
очень большой. Например [3.3], электростанция мощностью 10000 кВт,
вырабатывающая ток частотой 50 ±0,01 Гц, создает <п> ~ 1041 фотонов на
степень свободы. Большой магнетрон, работающий в импульсном режиме на
длине волны ~ 10 см ( ~ 3 • 109 ± 0,5 • 10° Гц), порождает ~ 1024 фотонов
на степень свободы; мощная ртутная лампа (высокого давления), испускающая
1 Вт/см2 в виде зеленого света (X ~ 5461 + Ю А), позволяет создать менее
10~3 фотонов на одну степень свободы. Таким образом, традиционные
источники в оптическом диапазоне непригодны для использования в качестве
средств связи, так как они не способны удерживать измеримую фазу, что
имеет первостепенное значение для синхронизации. Задача поддержания
измеримой фазы была выполнена с появлением источников лазерного
(когерентного) излучения; рубиновый лазер с модулируемой добротностью
позволяет создавать до ~ !015 фотонов на степень свободы.
Попытаемся теперь ответить на первый вопрос, почему эволюция предпочла
оптическую полосу микроволновой? Помимо
физиологических ограничений (несомненно, играющих главную-
роль) можно указать на следующие причины.
Для однозначного принятия (и восприятия) раздражителя отношение
"сигнал/шум" должно быть достаточно большим. Если мы наблюдаем объект по
тому, как он рассеивает излучение от источника света (сигнал), то
желательно, чтобы число рассеянных фотонов во много раз превосходило
число фотонов, спонтанно испускаемых самим объектом через излучение
черного тела (шум). Из формулы (3.3.55) для частот в оптическом диапазоне
следует неравенство hv/kT ps> 1, поэтому
(ц)~ех р[-If]- (3.4.1)
Число фотонов, рассеянных на объекте, освещенном Солнцем (Тs = 6000 К),
равно
(n)s ^ ехр [ угЩо"] • (3.4.2)
Они-то и образуют сигнал.
Сферические электромагнитные волны и информация
141
Число фотонов, спонтанно испускаемых объектом при той же высокой частоте,
равно
(П)п ~ ехР [~ Л: - 300 ] ' (3.4.3)
где 74 - 300 К - температура объекта. Эти фотоны образуют шум.
Таким образом, отношение сигнал/шум определяется выражением
<">* - еХр Г-^- (- -11 = ехо Г 5700 ~/iV
ехР[ k \Тп L й • 18 ¦
(.п) г /j I т Т")\ 1 L й • 18 ¦ 105
' < п. L \ п. S У А *-
(3.4.4)
Для частот из оптического диапазона оно составляет ~ 1028. Эта очень
большая величина и делает возможным однозначный прием сигнала в
оптическом диапазоне. Произведем теперь те же вычисления для
микроволновой области. В этом случае hv/kT С 1, и из формулы (3.3.55) мы
получаем
<я>~4п- (3.4.5)
Таким образом,
, Ч k ¦ 6000 . дч
V">5 = -м-. (3.4.6)
h\
! \ k' 300 ,0 . -\
(")/. = - . (3.4.7)
поэтому отношение сигнал/шум теперь равно только
{п)" 6000
(п)п 300
= 20, (3.4.8)
т. е. оно слишком мало для того, чтобы обеспечить хороший прием.
Соотношение (3.3.55) задает только среднее число фотонов на степень
свободы электромагнитного поля (на нормальную моду). Вокруг этого
среднего числа неизбежно происходят флуктуации. Какова статистика этих
флуктуаций? Этот вопрос имеет решающее значение, так как флуктуации в
интенсивности фотонного потока являются основной (хотя и не единственной)
причиной неоднозначности в формировании образа, когда несущая информацию
электромагнитная волна падат на конечную апертуру.
В частности, для нас представляет интерес вычисление второго момента
(дисперсии) флуктуаций фотонов относительно средней плотности <n> = Е.
Напомним простое соотношение между средним значением, средним
квадратичным значением и
142 Глава 3
средним квадратичным флуктуаций от среднего значения:
ДЕ2 = (Е - Ef = Е2- 2ЕЕ + Е2 = Е2 - 2Е2 + Е2 = Е2 - Е2.
(3.4.9)
Любая система, находящаяся в контакте с термостатом при температуре Т,
следует распределению Больцмана. Вероятность Рг того, что система
находится в r-м (квантовом) состоянии с энергией Ег, определяется
каноническим выражением
Pr = - *хр (-~ ErlkT)- , (3.4.10)
ехР (- Es/kT)
S
где суммирование проводится по всем допустимым дискретным состояниям
системы. Ясно, что
Е=^ЕГРГ. (3.4.11)
Подставляя в (3.4.11) выражение для Рг, получаем
ё ?ехр(-#-)=2>*ехр (-#-)• (3-4Л2)
Дифференцируя обе части по Г и деля на X ехр(- EJkT), при-ходим к
соотношению
+ (3-4.13)
или окончательно
кТ2-^г = Ё2 - Ё2 = Ш2. (3.4.14)
Этот результат был впервые получен Эйнштейном. Применим его к системе,
характеризуемой распределением Планка, которое следует из соотношения
(3.3.55):
оо
<"> = ? = = (3.4.15)
г=0
поэтому, используя формулу (3.4.14), получаем
