Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
что она расходится (становится бесконечной) в начале координат, -
свойство, которое можно ожидать, исходя из линейности уравнений
Максвелла.
В огромном числе задач, связанных с взаимодействием сферических волн с
плоскими границами (приемники с конечными апертурами, отражатели,
поверхности раздела двух сред и т. д.), существует асимметрия между
формой падающей волны и формой границы. Именно это обстоятельство
вынуждает нас разлагать сферическую волну на лучевые компоненты, для
каждой
124 Глава 3
из которых выполняются элементарные формулы отражения и преломления
Френеля. Из геометрических соображений напрашивается мысль о разложении
сферической волны в угловой спектр плоских волн при 0 ^ ft ^ л. Однако
такое разложение неэффективно, так как любая линейная комбинация плоских
волн не имеет особенностей ни в одной точке пространства, включая начало
координат, в то время как сферическая волна в начале координат
расходится. Следовательно, в этом случае нам следует полагаться не на
интуицию, а на более строгие рассуждения [3.2].
Наша сферическая волна имеет вид exp (jKR)/R, где К = ^х2 + у2 + г2 (рис.
3.8). На плоскости ху (z = 0) эта волна имеет вид exp (jKr)/r, где г =
Vх2 + у2. Сначала мы разлагаем (круговую) волну на плоскости ху в двойной
пространственный спектр Фурье
iKr +°°
5 S А(КХ, Ky)exv{i(Kxx + Kyy)}dKxdKy, (3.3.1)
- оо - оо
где А(Кх,Ку) - амплитуда лучевых компонент, распространяющихся по
плоскости ху с волновыми числами Кх, Ку.
Обратное преобразование позволяет найти
-Ьоо+оо
Л{КХ, Ку) = -(2^- ^ \ ехР[- i(Kxx + Kytj)\dxdy. (3.3.2)
- оо -оо
Произведем замену переменных
/Сх = V cos ф, /Су = <7 sin +, x = rcoscp, // = г sin ф, (3.3.3)
(q ~-\jK'2x + K2y, dx dy = r dq> dr);
амплитуда A(Kx,Ky) перейдет при этом в выражение
2я оо
А (Кх, Ку) = J J ехР {!г [К -q cos (ф - ф)]} dr =
о о
2л
1 f и . exp {jr [к - q COS (ф - Ф)] } 00
П Ч 41
- (2я)2 ) Uf ЦК-q соз(ф-ф)] о' >
о
где К - действительное волновое число; выражение в правой
части формулы (3.3.4) осциллирует и не сходится ни к какому
пределу.
Сферические электромагнитные волны и информация
125
Но если мы учтем хотя бы слабое поглощение, то результат интегрирования
по г в (3.3.4) сходится и при достижении верхнего предела, и мы получаем
значение //[/С - q cos(<p- ф)]; следовательно,
2л
ч<к" " (ЗА5)
ь
о
d6
(2я)2 К J 1 - (q/K) cos 6
О
1 _ /
2л VK2-q2 2я К2 - К'1 - К2у
и, наконец, из разложения (3.3.1) мы получаем е'Кг / Г Г ехр [ЦКхх+ Куу)\
(3.3.6)
-\- оо -\- оо
1 (3.3.7)
J ^К2 - К2Х - К\
-оо -оо
Выражение (3.3.7) можно немедленно экстраполировать вдоль оси ±2, если
иметь в виду, что (поскольку волновое число К фиксировано) мы имеем
всегда две независимые переменные, а именно Кх и Ку; следовательно, в
приведенном выше выражении необходимо изменить только аддитивный сдвиг по
фазе ±\KzZ, после чего мы получаем
%--±\ XJ1 dKxdKi (3з8)
- ОО -со
Учитывая сферическую симметрию, естественно ввести сферические
координаты:
Кх = К sin d cos ф,
К у = К sin Ф sin ф, (3.3.9)
Кг - К cos д
и
dKr dK"
- - К sin Ф d$ ^ф.
Кг
Интегрирование по ф не представляет никаких трудностей. Ситуация
становится более интересной, когда мы переходим к интегрированию по <1.
Волновые числа Кх, Ку независимо принимают все значения на действительной
оси от -оо до +оо. Выражение в правой части разложения (3.3.8) требует
отдельного рассмотрения двух различных групп волновых чисел Кх. Ку.
126
Глава 3
Первая группа (I) содержит Кх, Ку, удовлетворяющие неравен-
ствительный угол, изменяющийся от 0 (оба числа Кх, Ку равны нулю, Кг = К)
до я/2 {Kl + Ку = К2, Кг = о), т. е. I группа соответствует
распространяющимся волнам. Вторая группа (II) содержит такие Кх, Ку, для
которых Kl + К2У > К2; следовательно, волновое число Кг мнимое. Кроме
того, Ф теперь - комплексный угол, изменяющийся вдоль отрицательной
мнимой полуоси комплексной плоскости Ф = •в1' + jb" от я/2 до (я/2) - j
оо, т. е. II группа соответствует исчезающим волнам (рис. 3.7).
Соответственно интеграл в (3.3.8) преобразуется в (я/2) - j оо
Для семейства исчезающих волн, поскольку Ф = (я/2)-j оо, О "< а < оо,
волновые числа допускают параметризацию
так как при а-+оо мы получаем Кх-+°о cos ф, °° sin ф и
Kz-^joо, т. е. компоненты, которые распространяются, например, вдоль
плоскости ху с длинами волн, стремящимися к нулю, и одновременно
затухающие вдоль полуоси 2 с коэффициентом затухания, стремящимся к
бесконечности. Выражение (3.3.10) для сферической волны можно
преобразовать дальше: полагая
и выполняя интегрирование по ф, мы приходим к соотношению
ству Kl + К" < К2; волновое число Кг действительно, и Ф - дей-
S \ +КУу +Kz\z\)} sin (3.3.10)
(Л/2)-/оо 2я
о о
Кх = К cos фсЬ а, Ку - К sin фсЬа, Kz = / sh а,
(3.3.11)
X = r COS фь У = r Sin ф!
(3.3.12)
о
где
/0(") = -2^-jj ехр [jKr sin O' cos (ф - ф^] dq> (3.3.14)
о
- функция Бесселя нулевого порядка и и = Кг sin O'. Так как /0(ц) = 4-
[Я<"(ц)+ Н^Щ, (3.3.15)
