Оптический производстенный контроль - Малакара Д.
Скачать (прямая ссылка):
9.4.1. Математическое описание
Математическое описание метода с использованием теории Фурье впервые было разработано Адачи [5] и затем уточнено Ьа-ракой [7]. Предположим, что волновой фронт во входном зрачке в ПЛОСКОСТИ X0—У о описывается комплексной функцией fo(Xo, у о), обращающейся в ноль за пределами апертуры. Если система равномерно освещена, функция внутри свободной поверхности входного зрачка определяется экспонентой ехр [/2л117(х0, г/о)], где W(x0, .sJo) —функция деформации волнового фронта. Фазовые отклонения (деформации волнового фронта), заданные с помощью Fo(xo, у а), измеряют по отношению к сферической поверхности с центром на решегке Ронки, в плоскости Xr—у г- Если г — радиус кривизны эта-
237' лонного волнового фронта, поле множества U(xr, уг) в плоскости решетки можно записать как
U (хп IJ г) = TG(xu, у0)
ехр
. 2л , ,
I — (Xr X0-Y у гу о)
IS
dx0dy0. (9.46)
Барака [7] предложил использовать концепцию пространственного фильтрования, чтобы рассматривать действие решетки Ронки как фильтрующей маски в Фурье-преобразовании плоскости -Vr — Уг- Тогда, если плоскость наблюдения X1 — у\ является изображением плоскости зрачка X0 — у0, амплитуда в ней будет определяться как
G (Xv IJ1)= и (хп У г) M (Xn У г) j ехр
. 2я , л
I-(Xr Xl-Lyr IJ1'
L Г
dxr d yr, (9.47)
где M (.Vr, уг)—функция решетки, действующей как фильтрующее или модулирующее устройство. Подставляя U(.Vr, у,.) из (9.46)' в (9.47), получаем
G (X1, /Л)= j { L0 (x0i, y0)dx (Iin, j j M (xn yr) X
X fexp j і — \(xl — x0)xr + (y1 — P1,) yr\\)dxrdijr. (9.48)
\ I is г!
Это выражение справедливо для любого типа модулирующей функции. Предположим, теперь, что решетка образована прямыми, параллельными, эквидистантными полосами н запишем
М(хг)= \л Bn ехр / і -^LrL х\
jW \ і1 !
(9.49)
где d, как и обычно, период решетки. Подставляя AI (-Vr) в (9.48), получим выражение
G (X1, Ijl)= V Bn \\F0(xu, yQ)dxQdy0X
X ехр
• ,
I -
IS \
Хґ
dxr X
X \ ехр
.2л '
і -(Уі-Уо) У г
Kr
dyr \ ,
(9.50)
238' которое с учетом использования б-функцни Дирака
І' ехр [i (k — ku)x\dx = u (k — ku) (9.51)
преобразуется в
G (.V1, ZZ1)= V Bn ^ F0{x0, уи) В - л,, + -^J-) о (Ijl - iju) dX0Uy0.
(9.52)
„Можно показать, что это выражение равно
Gixl, //,)= V Bn F0{ X1 + -^- , . (9.53)
/г —оо
?слп решетка имеет форму, описываемую как
M (xr) =H-cos (2лй xr/d), (9.54)
получаем B0 = Bi = B-I = X и, таким образом, имеем три изображения зрачка с боковым смещением. В общем случае, однако, имеется множество таких изображений с боковым смещением друг от друга на величину Krnjd, как это показано на рис. 9.15 и 9.16. Если решетка имеет профиль в виде периодической прямоугольной волны (рис. 9.17), с помощью теории Фурье можно показать, что
Bn= sinwjt^ , (9.55)
п л
тде смысл ко понятен из рис. 9.17. Если ширина темных и светлых полос одинакова (при ^0= 1/2), все четные порядки в выражении (9.55) исчезают. Подставляя (9.55) в (9.53), получаем
^ГЧ Sinnnkn с f , 't.rn \ ,п гс,
G[xv Ijl)= V -^ F0 ! X1 -j--— , jj . (9.56)
п =— OO
Рассмотрим теперь идеальный волновой фронт с небольшой расфокусировкой Ar; в этом случае F0(xt, у\) можно записать
как
ехр
F0ixv г/,)='
— (х\ + у])\г при X21 +Ij21 ^ Sliax-, О при x* + y*>Sl^
где Smax — полудиаметр апертуры. Допустим, что боковой сдвиг 'Utijd мал по сравнению с Smax и поэтому суммирование можно вести вплоть до больших значений п. Для определения амплитуд-
239' Рис. 9.16. Интерференционные полосы между различными дифракционными порядками решетке Ронки
М(х,г)
c^i VO
Knd
Рис. 9,!7. Профиль решетки Ронки
Xr
ного профиля полос примем у 1 = 0, тогда можно показать, что
,V
I S і Il п ГС k ,
--1 COS
G (X1)--
k
1J I
2л/г Xr
Il гс
\
гЛ
XlVx
X ехр! і
лгі- Wr
ехр ц
L \
Л л Л г
(9.58)
где .V — количество волновых фронтов, перекрывающих др\г га в пределах рассматриваемого участка.
Последнее выражение позволяет количественно объяснить факт снижения резкости пол<»с по обе стороны от фокуса. Незначительное различие между обеими картинами следует отнести за счет влияния вторых порядков; это различие исчезает, как только г становится много большим Ar (Маллик, частное сообщение) .
in V-
240 Полосы становятся особенно резкими, когда сдвиг фаз между первым и нулевым порядками в выражении (9.58) кратен 2п:
M 2d2l(XSr)= 1. (9.59)
Этот эффект, условно называемый эффектом Талбота в методе Ронки, был изучен Малакарой и Корнехо [44]. Они показали, что полосы Талбота появляются при условии
a = Qs/(2M), (9.60)
где 0S — угловой боковой сдвиг между двумя произвольными последовательными порядками; а — угловое расстояние между полосами (рис. 9.18).
Предпринимались экспериментальные попытки увеличить резкость полос путем изменения относительной ширины щелей ko, (см. рис. 9.17). Положительные результаты были получены Мерти и Корнехо [55].
