Статистическая оптика - Гудмен Дж.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка):


Prob [Z є Аг} = Prob [U є Aw}. (2.5.8)
При малых Aw и Az это равенство можно приближенно записать в виде
pz(z)Az ~ Pu(U)AU, (2.5.9)
где u = f~[(z). Кроме того, при малых Au и Аг имеем
du
Au
dz
Аг.
(2.5.10)34
Глава 1
Подставив (2.5.10) в (2.5.9) и сократив Az, мы получим соотношение, которое становится точным, когда Aw н Az стремятся к нулю:
Pz (г) = Puir1(Z)]
du
dz
(2.5.11)
Так как du/dz ражение
¦¦(dz/du)-
Pz (г)
можно написать эквивалентное вы-Xri(Z)]
_ fuj
dz
du
(2.5.12)
где производная \dz/du\ должна быть выражена через переменную г. По формуле (2.5.11) или (2.5.12) можно легко вычислить функцию pz(z) в любом конкретном случае.
Смысл формулы (2.5.12) таков: производной dz/du функции преобразования определяется то, как плотность распределения в области и переносится на область z. Если \ dz/du | — большая величина, то малая область и отображается на большую область г и поэтому возможные значения редко распределяются в области 2. Если \dz/du\ — малая величина, то на малую область оси 2 отображается большая область оси и и значения z плотно распределяются в этой области.
В качестве примера применения этого метода рассмотрим преобразование
2 = cosw (2.5.13)
и плотность распределения
— при OCus^ji,
I = I я
I О
Pt/(«) = 1 " (2.5.14)
в других случаях.
Это преобразование обратимо в области значений и, при которых величина ри(и) отлична от нуля, причем обратная функция имеет вид
w = arccos2. (2.5.15)
Искомая производная определяется следующим выражением:
и, гаким образом,
du
dz
1
Vb
Pz (Z) = ¦
я
О
du
dz
1
я ^JX-Zi
при
1 <2<1,
(2.5.16)
в других случаях.
На рис. 2.6 представлены график функции ри{и), преобразование Z = cos и и получающаяся плотность распределения pz(z).Случайные переменные
35
Еели функция г = f(u) необратима, но состоит из обратимых отрезков, то может быть использована процедура, которая сводится к рассмотренной вы-
ше. Если на п-м отрезке функция может быть представлена обратимой функцией fn(u), то плотность распределения величины Z можно записать в виде
PuW
Pz (2) =
= Ipc/[" = ^"1 (О
dt~l (z) dz
(2.5.17)
В качестве конкретного примера мы снова возьмем квадратичный закон преобразования г = аи2, который может быть обращен на двух отрезках следующим образом:
I+ -^-приО < ы<оо,
I— д/~2Г ПРИ — °° < и ^ 0.
Для обоих отрезков имеем du
2 Vo
dz
следовательно, Pz (2) ==
¦у (Vf)M-Vf)
2 Vaz
і
7/л
¦ шш Wzy//'/?,
О к
к
а
э» и
PzW
Рнс. 2.6. Графики: а) плотности распределения до преобразования, б) закона преобразования и в) плотности распределения после преобразования.
(2.5.18)
в согласии с формулой (2.5.7).
В. Преобразования многомерных распределений
Рассмотрим две случайные переменные WnZ, подчиняющиеся совместному распределению, которые функционально связаны с двумя исходными случайными переменными UnV соотноше-36
Глава 1
ниями
W = f (и, v),
, V (2.5.19)
z = g (и, v).
Предположим, что совместная плотность распределения puv(u,v) задана и мы хотим найти совместную плотность распределения
Pwz(W, z).
В большинстве случаев, представляющих интерес, отображение, описываемое системой уравнений (2.5.19), однозначно [т.е. заданная пара [и, v) отображается только на одну пару (w,z)], но не обязательно взаимно и обратимо. По аналогии с выражениями (2.5.2) и (2.5.3) мы м'ожем найти совместную функцию распределения FWz(w,z) и затем продифференцировать ее по W и г. Пусть Awz— область плоскости (и, v), на которой выполняются оба неравенства If < ® и Z < г. Тогда
Fwz (w, г) = Prob {(и, о) є Awz), (2.5.20)
Pwz {w, г) = Prob {{и, v)e=Awz). (2.5.21)
Поскольку этот наиболее общий подход в нашем дальнейшем изложении не потребуется, мы отнесли рассмотрение примера его применения в задачи (см. задачу 2.8).
Если отображения f(u,v) и g(u, v) взаимно однозначны и обратимы, возможен более простой подход. Выразим и и v через W и 2 следующим образом:
u = F(w, z),
г) \ (2-5.22)
v = G(w, z).
Вероятность того, что значения и и v лежат внутри бесконечно малого элемента площади AuAv, равна вероятности того, что w и 2 попадают внутрь элементарной площади AwAz, представляющей собой проекцию элемента площади AuAv, осуществляемую обратным преобразованием. Следовательно,
pwz (w, г) Aw Az = Puv (и, v)AuAv. (2.5.23) Но при малых (Aw, Au) мы имеем
AuAo «|/|Аа>Лг, (2.5.24) где I/| — якобиан обратного преобразования:
1/1 =
д F dF
dw dz
dG dG
dw dz
(2.5.25)
причем двойными вертикальными линиями обозначен модуль детерминанта. Если допускается, что Aw и Ao могут стать скольСлучайные переменные
37
угодно малыми, то приближение (2.5.24) становится сколь угодно хорошим. Подставляя (2.5.24) в (2.5;23) и сокращая па AwAz, получаем в качестве конечного результата
Pwz (о>, z) = I /1 Puv [и = F (W, г), O = G (w, z)]. (2.5.26)
В заключение заметим, что якобиан |/| играет ту же роль, что и производная \du/dz\ в уравнении (2,5.11), описывая изменение плотности распределения в результате преобразования. Пример применения этого результата рассмотрен в следующем параграфе.



